Uma roda gigante de raio
está fixada com centro a
do solo. Enquanto se divertia com os movimentos da roda, num determinado momento o assento de Maria estava a
do sólo, com velocidade vertical
. Neste caso, pode-se deduzir que o tempo gasto para completar uma volta é
i.
ii.
iii.
iv.
v.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma roda gigante com raio $ R $ e o centro dela está a $ 2R $ do chão. Em um certo momento, o assento da Maria está a $ \frac{8}{3}R $ do chão e tem uma velocidade vertical de $ \alpha , m/min $. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo ela leva para completar uma volta na roda gigante. Vamos precisar usar conceitos de movimento circular e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição da Maria. A roda gigante tem o centro a $ 2R $ do chão e um raio $ R $. Então, a altura máxima que ela pode alcançar é $ 2R + R = 3R $ e a mínima é $ 2R - R = R $. No momento considerado, Maria está a $ \frac{8}{3}R $ do chão, o que significa que ela está em uma posição intermediária.
Passo 3
Vamos relacionar essa altura com o ângulo da roda gigante. Se considerarmos o movimento circular, a altura $ y $ da Maria em relação ao chão pode ser expressa como:
onde $ \theta $ é o ângulo correspondente à posição dela na roda.
Passo 4
Sabemos que $ y = \frac{8}{3}R $, então substituindo na equação:
Vamos isolar $ \sin(\theta) $:
Passo 5
Agora, vamos relacionar a velocidade vertical $ \alpha $ com a derivada da altura em relação ao tempo. Diferenciando a equação da altura:
Podemos resolver para $ \frac{d\theta}{dt} $:
Passo 6
Sabemos que $ \sin(\theta) = \frac{2}{3} $, então podemos encontrar $ \cos(\theta) $ usando a identidade trigonométrica:
Substituindo na expressão de $ \frac{d\theta}{dt} $:
Passo 7
A velocidade angular $ \omega $ é $ \frac{d\theta}{dt} $, então temos:
O período $ T $, que é o tempo para completar uma volta, está relacionado com $ \omega $ pela fórmula:
Resposta
O tempo gasto para completar uma volta é $ \frac{2 \pi \sqrt{5}}{3} \frac{R}{\alpha} $.