Uma roda gira com uma aceleração angular
dada por
, onde
e o tempo, é
e
são constantes. Se
e a velocidade inicial da roda, deduza as equações para o deslocamento angular em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de física onde uma roda está girando com uma aceleração angular que depende do tempo. A equação dada é
. A velocidade inicial da roda é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação que descreve o deslocamento angular
em função do tempo
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrações, para passar da aceleração angular para o deslocamento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração angular (
) é a taxa de variação da velocidade angular (
) em relação ao tempo. Matematicamente, isso é representado por:
Para encontrar a velocidade angular
, precisamos integrar a aceleração
em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos integrar a expressão da aceleração:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Aqui,
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial: quando
, a velocidade angular é
.
Então,
. Portanto, a expressão para a velocidade angular é:
Passo 4
Agora que temos a expressão para
, vamos encontrar o deslocamento angular
. Lembrando que a velocidade angular é a taxa de variação do deslocamento angular:
Então, para encontrar
, integramos
em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Aqui,
é a constante de integração. Supondo que o deslocamento angular inicial
, temos:
Logo,
. Portanto, a expressão final para o deslocamento angular é:
Resposta
A equação do deslocamento angular em função do tempo é: