Uma roda gira com uma aceleração angular alpha dada por alpha=4 at^3-3 bt^2, onde t e o tempo, é a e b são constantes. Se omegao e a velocidade inicial da roda, deduza as equações para o deslocamento angular em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de física onde uma roda está girando com uma aceleração angular que depende do tempo. A equação dada é alpha = 4 a t^3 - 3 b t^2. A velocidade inicial da roda é omega0. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação que descreve o deslocamento angular theta em função do tempo t. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrações, para passar da aceleração angular para o deslocamento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração angular ( alpha) é a taxa de variação da velocidade angular ( omega) em relação ao tempo. Matematicamente, isso é representado por:
alpha = domegadt
Para encontrar a velocidade angular omega(t), precisamos integrar a aceleração alpha(t) em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar a expressão da aceleração:
omega(t) = integral alpha , dt = integral (4 a t^3 - 3 b t^2) , dt
Integrando termo a termo:
omega(t) = 4 a integral t^3 dt - 3 b integral t^2 dt
omega(t) = 4 a ( t^44 ) - 3 b ( t^33 ) + C
Simplificando:
omega(t) = a t^4 - b t^3 + C
Aqui, C é a constante de integração. Para encontrar C, usamos a condição inicial: quando t = 0, a velocidade angular é omega0.
omega(0) = a (0)^4 - b (0)^3 + C = omega0
Então, C = omega0. Portanto, a expressão para a velocidade angular é:
omega(t) = a t^4 - b t^3 + omega0

Passo 4

Agora que temos a expressão para omega(t), vamos encontrar o deslocamento angular theta(t). Lembrando que a velocidade angular é a taxa de variação do deslocamento angular:
omega = dthetadt
Então, para encontrar theta(t), integramos omega(t) em relação ao tempo:
theta(t) = integral omega(t) , dt = integral (a t^4 - b t^3 + omega0) , dt
Integrando termo a termo:
theta(t) = a integral t^4 dt - b integral t^3 dt + omega0 integral dt
theta(t) = a ( t^55 ) - b ( t^44 ) + omega0 t + D
Simplificando:
theta(t) = a5 t^5 - b4 t^4 + omega0 t + D
Aqui, D é a constante de integração. Supondo que o deslocamento angular inicial theta(0) = 0, temos:
theta(0) = a5 (0)^5 - b4 (0)^4 + omega0 (0) + D = 0
Logo, D = 0. Portanto, a expressão final para o deslocamento angular é:
theta(t) = a5 t^5 - b4 t^4 + omega0 t

Resposta

A equação do deslocamento angular em função do tempo é:
theta(t) = a5 t^5 - b4 t^4 + omega0 t

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