Em t=0, uma roda tem uma velocidade angular de 4,7 rad / s, uma aceleração angular constante de -0,25 rad / s^2 e uma reta de referência em theta0=0. (a) Qual é o maior ângulo theta máx á descrito pela reta de referência no sentido positivo? Quais são (b) o primeiro e © o segundo instante no qual a reta de referência passa pelo ângulo theta=theta max / 2? Em que (d) instante negativo e (e) instante positivo a reta de referência passa pelo ângulo theta=-10,5 rad? (f) Faça um gráfico de theta em função de t e indique as respostas dos itens (a) a (e) no gráfico.

Passo 1

O enunciado nos apresenta um problema de cinemática angular, onde uma roda tem uma velocidade angular inicial de , uma aceleração angular constante de e a reta de referência inicia em . Vamos precisar aplicar as equações do movimento angular uniformemente acelerado para resolver os itens (a) a (e).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o maior ângulo omega = omega0 + alpha t á que a reta de referência atinge no sentido positivo. Sabemos que a aceleração angular é negativa, o que significa que a roda está desacelerando. O ponto máximo ocorre quando a velocidade angular se torna zero.
Usamos a equação de velocidade angular:
0 = 4,7 + (-0,25)t 0,25t = 4,7 t = 4,70,25 = 18,8, s
Onde:
  • theta = theta0 + omega0 t + 12 alpha t^2 é a velocidade angular final (0 rad/s no ponto máximo),
  • thetamáx = 0 + 4,7 times 18,8 + 12 times (-0,25) times (18,8)^2 thetamáx = 4,7 times 18,8 - 0,125 times 353,44 thetamáx = 88,76 - 44,18 = 44,58, rad ,
  • ,
  • é o tempo.
Resolvendo para :
Agora, para encontrar á, usamos a equação da posição angular:
Substituindo os valores:
ááá

Passo 3

Agora, vamos encontrar os instantes em que a reta de referência passa pelo ângulo 22,29 = 0 + 4,7 t - 0,125 t^2 á.
Usamos novamente a equação da posição angular:
0,125 t^2 - 4,7 t + 22,29 = 0
Rearranjando:
t^2 - 37,6 t + 178,32 = 0
Multiplicando todos os termos por 8 para eliminar o decimal:
t = 37,6 pm raiz(37,6)^2 - 4 times 1 times 178,322 t = 37,6 pm raiz1413,76 - 713,282 t = 37,6 pm raiz700,482 t = 37,6 pm 26,462
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t1 = 37,6 + 26,462 = 32,03, s t2 = 37,6 - 26,462 = 5,57, s
Então, os instantes são:

Passo 4

Para encontrar os instantes em que -10,5 = 0 + 4,7 t - 0,125 t^2 , usamos novamente a equação da posição angular:
0,125 t^2 - 4,7 t - 10,5 = 0
Rearranjando:
t^2 - 37,6 t - 84 = 0
Multiplicando por 8:
t = 37,6 pm raiz(37,6)^2 - 4 times 1 times (-84)2 t = 37,6 pm raiz1413,76 + 3362 t = 37,6 pm raiz1749,762 t = 37,6 pm 41,812
Usando a fórmula de Bhaskara:
tnegativo = 37,6 - 41,812 = -2,11, s tpositivo = 37,6 + 41,812 = 39,71, s
Então, os instantes são:

Resposta

(a) O maior ângulo descrito pela reta de referência no sentido positivo é á.
(b) O primeiro instante em que a reta passa por é .
© O segundo instante em que a reta passa por é .
(d) O instante negativo em que a reta passa por é .
(e) O instante positivo em que a reta passa por é .

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