A superfície lateral de um cone circular reto corresponde a um setor circular de 216º, quando planificada. Se a geratriz do cone mede 10 cm, então a medida de sua altura, em cm, é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Passo 1
Vamos resumir a questão: temos a superfície lateral de um cone circular reto que, quando desenrolada, forma um setor circular de 216º. Sabemos que a geratriz (o lado inclinado) do cone mede 10 cm. Precisamos descobrir qual é a altura desse cone. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria sobre cones e setores circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a superfície lateral do cone, quando desenrolada, vira um setor de círculo. A geratriz do cone corresponde ao raio desse setor. Então, aqui, o raio do setor é 10 cm.
Passo 3
Sabemos que um círculo completo tem 360º. O setor que temos tem 216º, o que significa que ele representa uma fração desse círculo completo. Precisamos calcular essa fração para encontrar a circunferência da base do cone.
Passo 4
A fórmula para calcular o comprimento do arco de um setor é:
Onde:
- $ \theta $ é o ângulo do setor (216º)
- $ r $ é o raio do setor (10 cm)
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Então, o comprimento do arco do setor é $ 12\pi $ cm.
Passo 6
Esse comprimento do arco $ C_{setor} $ é igual à circunferência da base do cone ($ C_{base} $). A fórmula da circunferência é:
Onde $ r_{base} $ é o raio da base do cone que queremos encontrar.
Passo 7
Igualando as duas expressões:
Dividindo ambos os lados por $ 2\pi $:
Então, o raio da base do cone é 6 cm.
Passo 8
Agora, vamos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a altura do cone ($ h $). No cone, a geratriz, a altura e o raio da base formam um triângulo retângulo:
Substituindo os valores:
Passo 9
Resolvendo para $ h^2 $:
Passo 10
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A altura do cone é igual a 8 cm.