A roseta de 45^circ está montada no elo da retroescavadeira. As seguintes leituras foram obtidas em cada aferidor: epsilona=650(10^-6), epsilonb=-300(10^-6) e epsilonc=480(10^-6). Determinar (a) as deformações principais no plano, (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformaçăo normal média associada.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos uma roseta de strain (ou roseta de deformação) montada no elo de uma retroescavadeira, com três aferições de deformação:
epsilona=650 times 10^-6, epsilonb=-300 times 10^-6, epsilonc=480 times 10^-6
O objetivo é:
a) Determinar as deformações principais no plano.
b) Encontrar a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre deformações principais e deformação por cisalhamento. Também utilizaremos fórmulas matemáticas para calcular esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as posições dos aferidores na roseta. Uma roseta de 45^circ normalmente tem três galinhas dispostas a 0^circ, 45^circ e 90^circ. Assim, podemos associar:
epsilona = epsilon0^circ = 650 times 10^-6
epsilonb = epsilon45^circ = -300 times 10^-6
epsilonc = epsilon90^circ = 480 times 10^-6

Passo 3

Agora, vamos calcular as deformações principais. As deformações principais são os valores máximos e mínimos das deformações normais no plano, onde a deformação por cisalhamento é zero. Para encontrar essas deformações, usamos as seguintes fórmulas:
epsilon1,2 = epsilon0 + epsilon902 pm raiz(epsilon0 - epsilon902)^2 + (epsilon452)^2
Onde:
  • epsilon0 é a deformação a 0^circ,
  • epsilon90 é a deformação a 90^circ,
  • epsilon45 é a deformação a 45^circ.

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
epsilon1,2 = 650 times 10^-6 + 480 times 10^-62 pm raiz(650 times 10^-6 - 480 times 10^-62)^2 + (-300 times 10^-62)^2
Primeiro, calculamos a média das deformações a 0^circ e 90^circ:
650 times 10^-6 + 480 times 10^-62 = 1130 times 10^-62 = 565 times 10^-6

Passo 5

Agora, calculamos a parte dentro da raiz quadrada:
(650 times 10^-6 - 480 times 10^-62)^2 = (170 times 10^-62)^2 = (85 times 10^-6)^2 = 7225 times 10^-12
(-300 times 10^-62)^2 = (-150 times 10^-6)^2 = 22500 times 10^-12
7225 times 10^-12 + 22500 times 10^-12 = 29725 times 10^-12
Então, a raiz quadrada fica:
raiz29725 times 10^-12 approx 172.4 times 10^-6

Passo 6

Finalmente, calculamos as deformações principais:
epsilon1 = 565 times 10^-6 + 172.4 times 10^-6 = 737.4 times 10^-6
epsilon2 = 565 times 10^-6 - 172.4 times 10^-6 = 392.6 times 10^-6

Passo 7

Agora, vamos determinar a deformação por cisalhamento máxima no plano. A fórmula para a deformação por cisalhamento máxima ( gammamax) é:
gammamax = raiz(epsilon0 - epsilon902)^2 + (epsilon452)^2
Já calculamos essa parte anteriormente e obtivemos:
gammamax approx 172.4 times 10^-6

Passo 8

Por fim, vamos calcular a deformação normal média associada ( epsilonm). A deformação normal média é a média aritmética das deformações principais:
epsilonm = epsilon1 + epsilon22
epsilonm = 737.4 times 10^-6 + 392.6 times 10^-62 = 1130 times 10^-62 = 565 times 10^-6

Resposta

(a) As deformações principais no plano são epsilon1 = 737.4 times 10^-6 e epsilon2 = 392.6 times 10^-6.
(b) A deformação por cisalhamento máxima no plano é gammamax = 172.4 times 10^-6 e a deformação normal média associada é epsilonm = 565 times 10^-6.

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