A seção de evaporação de uma bomba de calor está instalada no interior de um grande tanque de água, que é usado como fonte de calor durante o inverno. À medida que a energia é extraída da água, ela começa a congelar, criando um banho de água e gelo a 0^circ C, que pode ser usado para o resfriamento do ar durante o verão. Considere condições para o resfriamento durante o verão, nas quais o ar é passado pelo interior de um conjunto de tubos de cobre, cada um com diâmetro interno D=50 mm, submerso no banho de água gelo. Se o ar entra em cada tubo a uma temperatura média de Tm, ent=24^circ C e a uma vazão de mássica igual a 0,01 kg / s, qual comprimento de tubo L fornecerá uma temperatura na saída Tm, sai =14^circ C ? com 10 tubos passando através de um tanque com volume total V =15 m^3, que contém inicialmente 75 % de gelo em volume, quanto tempo irá levar para fundir a totalidade do gelo? A massa específica e o calor latente de fusão do gelo são de 920 kg / m^3 e 3,34 x 10^5 J / kg, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bomba de calor que no inverno usa um tanque grande de água como fonte de calor, onde a água começa a congelar à medida que a energia é extraída. No verão, usamos esse banho de água e gelo para resfriar o ar passando por tubos de cobre submersos nesse banho.
O que precisamos fazer é:
  1. Determinar o comprimento dos tubos de cobre que permitirá que o ar seja resfriado de 24°C para 14°C, dado o diâmetro dos tubos e a vazão mássica do ar.
  2. Calcular o tempo necessário para derreter toda a quantidade inicial de gelo no tanque, considerando o volume, a massa específica e o calor latente de fusão do gelo.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o comprimento dos tubos de cobre necessário para resfriar o ar conforme solicitado.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro interno dos tubos, Q = dotm cdot cp cdot De
  • Temperatura de entrada do ar,
  • Temperatura de saída do ar,
  • Vazão mássica do ar,
  • Número de tubos,
Vamos usar a equação de transferência de calor para sistemas de fluxo através de tubos:
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor
  • é a capacidade térmica específica do ar
  • é a variação de temperatura
Assumindo que para o ar é aproximadamente .

Passo 3

Calculando a taxa de transferência de calor ( De):
Q = 0,01 , kg/s times 1005 , J/(kg·K) times 10 , K = 100,5 , W
Q = N cdot h cdot A cdot De
Agora, vamos calcular o comprimento dos tubos usando a Lei de Resfriamento de Newton adaptada para fluxo em tubos:
A = pi cdot D cdot L times N é
Onde:
  • L = QN cdot h cdot pi cdot D cdot De é o coeficiente de transferência de calor por condução (para o ar no tubo)
  • Nu = 0,023 cdot Re^0,8 cdot Pr^n é a área de superfície dos tubos
  • Re = rho cdot v cdot Dmu é é a temperatura média diferencial
Para simplificação, vamos considerar que dotm = rho cdot v cdot Atubo times N é. A área de superfície de um tubo é:
Rearranjando para encontrar :
é
Precisamos estimar . Para fluxo de ar em tubos, uma aproximação comum é usar a fórmula de Dittus-Boelter para número de Nusselt ( ):
Onde:
  • é o número de Reynolds
  • é o número de Prandtl
  • para aquecimento
Calculando :
Assumindo que a densidade do ar ( ) é , a viscosidade dinâmica ( ) é , e a velocidade do ar ( ) pode ser encontrada pela relação:
Onde .

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade do ar ( Atubo = pi cdot (0,052)^2 = pi cdot (0,025)^2 = pi cdot 0,000625 , m^2 approx 0,00196 , m^2 ):
Atotal = 10 times 0,00196 , m^2 = 0,0196 , m^2
Para 10 tubos:
0,01 , kg/s = 1,2 , kg/m^3 times v times 0,0196 , m^2
Agora, resolvendo para v = 0,011,2 times 0,0196 approx 0,010,0235 approx 0,425 , m/s :
Re = 1,2 times 0,425 times 0,051,8 times 10^-5 approx 0,02551,8 times 10^-5 approx 1416,67
Pr = cp cdot muk
Agora, calculando Pr = 1005 times 1,8 times 10^-50,026 approx 0,018090,026 approx 0,6965 :
Nu = 0,023 times (1416,67)^0,8 times (0,6965)^0,4
Calculando Nu approx 0,023 times 330 times 0,866 approx 0,023 times 285,78 approx 6,57 :
h = Nu cdot kD = 6,57 times 0,0260,05 approx 0,1700,05 = 3,4 , W/(m^2·K)
Onde (condutividade térmica do ar) é aproximadamente .
Agora, aplicando na fórmula de Dittus-Boelter:
Calculando :
Vamos aproximar:
E :
Então,
Agora, o coeficiente convectivo é dado por:

Passo 5

Agora que temos L = QN cdot h cdot pi cdot D cdot De, podemos calcular o comprimento Q = 100,5 , W, N = 10, h = 3,4 , W/(m^2·K), D = 0,05 , m, De dos tubos.
Relembrando a fórmula:
L = 100,510 times 3,4 times pi times 0,05 times 10 = 100,510 times 3,4 times 0,1571 times 10 é
Substituindo os valores:
L = 100,553,756 approx 1,87 , m

Passo 6

Agora, vamos calcular o tempo necessário para derreter toda a quantidade de gelo no tanque.
Dados fornecidos:
  • Volume total do tanque, V>=lo = 0,75 times 15 , m^3 = 11,25 , m^3
  • Percentual inicial de gelo, m>=lo = rho times V>=lo = 920 , kg/m^3 times 11,25 , m^3 = 10350 , kg
  • Massa específica do gelo, Qtotal = m>=lo times Lf = 10350 , kg times 3,34 times 10^5 , J/kg = 3,4629 times 10^9 , J
  • Calor latente de fusão do gelo, t = QtotalQ = 3,4629 times 10^9 , J100,5 , W approx 3,44 times 10^7 , s
Primeiro, vamos calcular a massa total de gelo presente inicialmente.
t approx 3,44 times 10^73600 approx 9555,56 , horas
A energia necessária para derreter todo esse gelo é:
Agora, precisamos saber a potência fornecida para derretimento do gelo. Essa potência vem da transferência de calor do ar resfriado passando pelos tubos.
A taxa de transferência de calor que já calculamos é .
Portanto, o tempo necessário é:
Convertendo para horas:
Ou aproximadamente 9556 horas, o que dá cerca de 397 dias.

Resposta

O comprimento necessário dos tubos de cobre é aproximadamente 1,87 metros e o tempo para derreter toda a quantidade inicial de gelo é de cerca de 9556 horas (aproximadamente 397 dias).

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