A=[rrr 3 & 1 & -1 0 & -2 & 2 0 & 0 & 1 ], B=[rrr -2 & 3 & 1 0 & -2 & 2 0 & 0 & 1 ]
Mostre A B e B A são matrizes triangulares superiores. As matrizes A B e B A são iguais?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes e dadas, e precisamos mostrar que os produtos e são matrizes triangulares superiores. Além disso, devemos verificar se e são iguais. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de multiplicação de matrizes e propriedades de matrizes triangulares superiores.

Passo 2

Vamos começar calculando o produto . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz. Lembre-se de que, para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz, o que é válido aqui.

Passo 3

Calculando AB = 3 & 1 & -1 0 & -2 & 2 0 & 0 & 1 -2 & 3 & 1 0 & -2 & 2 0 & 0 & 1 :
AB = -6 & 7 & 4 0 & 4 & -2 0 & 0 & 1
Vamos multiplicar linha por coluna:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (1,3):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (2,3):
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos verificar se AB = -6 & 7 & 4 0 & 4 & -2 0 & 0 & 1 é uma matriz triangular superior. Uma matriz é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Observando a matriz :
Vemos que os elementos abaixo da diagonal principal (posição (2,1) e (3,1), (3,2)) são zeros. Portanto, é uma matriz triangular superior.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto BA = -2 & 3 & 1 0 & -2 & 2 0 & 0 & 1 3 & 1 & -1 0 & -2 & 2 0 & 0 & 1 :
BA = -6 & -8 & 9 0 & 4 & -2 0 & 0 & 1
Multiplicando linha por coluna:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (1,3):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (2,3):
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):
Portanto,

Passo 6

Vamos verificar se BA = -6 & -8 & 9 0 & 4 & -2 0 & 0 & 1 é uma matriz triangular superior. Observando a matriz :
Os elementos abaixo da diagonal principal (posição (2,1) e (3,1), (3,2)) são zeros. Portanto, também é uma matriz triangular superior.

Passo 7

Finalmente, vamos verificar se AB = -6 & 7 & 4 0 & 4 & -2 0 & 0 & 1 , BA = -6 & -8 & 9 0 & 4 & -2 0 & 0 & 1 e são iguais comparando as duas matrizes:
Observamos que os elementos (1,2) e (1,3) são diferentes ( e ). Portanto, e não são iguais.

Resposta

Os produtos AB = -6 & 7 & 4 0 & 4 & -2 0 & 0 & 1 , BA = -6 & -8 & 9 0 & 4 & -2 0 & 0 & 1 e são ambas matrizes triangulares superiores, mas e não são iguais.

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