A=[rrrr 0 & 2 & 4 & 1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 ]
Encontre a matriz A^4.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão nos dá uma matriz quadrada A=[rrrr 0 & 2 & 4 & 1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 ] de ordem 4:
A gente precisa encontrar , ou seja, multiplicar a matriz por ela mesma quatro vezes. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as potências de matrizes e aproveitar que é uma matriz triangular superior, o que simplifica nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz triangular superior é aquela onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. No nosso caso, é triangular superior, o que facilita o cálculo das potências, porque a multiplicação de matrizes triangulares superiores também resulta em uma matriz triangular superior.

Passo 3

Agora, vamos observar a diagonal principal de Diagonal de A = [0, 0, 0, 0] . Ela é composta por zeros:
Quando elevamos uma matriz triangular superior a uma potência, os elementos da diagonal principal também são elevados a essa potência. Então, em , os elementos da diagonal principal serão .

Passo 4

Vamos analisar os elementos acima da diagonal. Como é uma matriz triangular superior, ao multiplicá-la por ela mesma, os elementos acima da diagonal serão combinados de forma que os valores aumentam em complexidade, mas para simplificar, vamos calcular passo a passo.

Passo 5

Começamos calculando A^2 = [rrrr 0 & 2 & 4 & 1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 ] times [rrrr 0 & 2 & 4 & 1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 ] = [rrrr 0 & 0 & -2 & 5 0 & 0 & 0 & -3 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ] :

Passo 6

Em seguida, calculamos A^3 = [rrrr 0 & 0 & -2 & 5 0 & 0 & 0 & -3 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ] times [rrrr 0 & 2 & 4 & 1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 ] = [rrrr 0 & 0 & 0 & -6 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ] :

Passo 7

Finalmente, calculamos A^4 = [rrrr 0 & 0 & 0 & -6 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ] times [rrrr 0 & 2 & 4 & 1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 ] = [rrrr 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ] :

Resposta

A matriz A^4 = [rrrr 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ] é a matriz nula de ordem 4:

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