Sejam B uma base de V^3 e u, v in V^3 satisfazendo mid u]B=(1,-3,2) eVy =(2,3,-1). Sejam a e b numeros reais e w um vetor satisfazendo u]B=(a, 1, b). Vale que o conjunto u, v, w é linearmente dependente se, =0 e somente se:
(a) -3 a+9 b+4=0;
(b) -a+3 b=0;
© -3 a+9 b+5=0;
(d) -a+3 b+2=0;
(e) -a+3 b+9=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre vetores em um espaço vetorial de dimensão 3, chamado , e uma base desse espaço. Temos três vetores , e representados na base . A questão quer saber sob qual condição os vetores são linearmente dependentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é dependência linear e como encontrar essa condição usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente dependente. Isso quer dizer que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor nulo, ou seja, existe uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que satisfaz:
c1 u + c2 v + c3 w = 0
Uma maneira de verificar isso é formando uma matriz com as coordenadas dos vetores na base e calculando seu determinante. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos escrever as coordenadas dos vetores na base [u]B = 1 -3 2 , [v]B = 2 3 -1 , [w]B = a 1 b :
A = 1 & 2 & a -3 & 3 & 1 2 & -1 & b
Agora, formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det(A) = 1(3 cdot b - 1 cdot (-1)) - 2(-3 cdot b - 1 cdot 2) + a(-3 cdot (-1) - 3 cdot 2)
Aplicando isso à nossa matriz:
= 1(3b + 1) - 2(-3b - 2) + a(3 - 6)
Simplificando passo a passo:
= 3b + 1 + 6b + 4 + a(-3)
= 9b + 5 - 3a

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
9b + 5 - 3a = 0
Podemos reescrever isso como:
-3a + 9b + 5 = 0

Resposta

A alternativa correta é a © .

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