Seja
a transformação linear definida por
e considere as bases
e
de
e
, respectivamente. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que vai de polinômios de grau 2 em
para os números reais. A gente precisa encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases dadas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, bases e como representá-las em matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a transformação
. Ela pega um polinômio da forma
e retorna um número real calculado por
. Isso significa que
é uma função linear que combina os coeficientes do polinômio de uma maneira específica.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as bases que estamos usando. A base
para
é
e a base
para
é simplesmente
. O que precisamos fazer é aplicar a transformação
em cada vetor da base
e depois expressar o resultado na base
.
Passo 4
Vamos aplicar
a cada um dos vetores da base
:
-
Para
: - Coeficientes:
, , -
- Coeficientes:
-
Para
: - Coeficientes:
, , -
- Coeficientes:
-
Para
: - Coeficientes:
, , -
- Coeficientes:
Passo 5
Agora, precisamos expressar esses resultados na base
. Como
tem apenas um vetor, qualquer número real
pode ser escrito como
, onde
. Então, vamos calcular os coeficientes correspondentes:
-
Para
: -
- Coeficiente:
-
-
Para
: -
- Coeficiente:
-
-
Para
: -
- Coeficiente:
-
Passo 6
Por fim, a matriz da transformação
será uma matriz
onde cada coluna corresponde aos coeficientes que encontramos para cada vetor da base
em relação à base
.
Resposta
A matriz da transformação linear
em relação às bases
e
é: