Seja T: P2(R) R a transformação linear definida por T(a x^2+b x+c)=2 b-4 a+c e considere as bases alpha=x+1,7, x^2-x e beta=8 de P2(R) e R, respectivamente. Determine [T]beta^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que vai de polinômios de grau 2 em para os números reais. A gente precisa encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases dadas e . Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, bases e como representá-las em matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a transformação . Ela pega um polinômio da forma e retorna um número real calculado por . Isso significa que é uma função linear que combina os coeficientes do polinômio de uma maneira específica.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as bases que estamos usando. A base para é e a base para é simplesmente . O que precisamos fazer é aplicar a transformação em cada vetor da base e depois expressar o resultado na base .

Passo 4

Vamos aplicar a cada um dos vetores da base :
  1. Para :
    • Coeficientes: , ,
  2. Para :
    • Coeficientes: , ,
  3. Para :
    • Coeficientes: , ,

Passo 5

Agora, precisamos expressar esses resultados na base . Como tem apenas um vetor, qualquer número real pode ser escrito como , onde . Então, vamos calcular os coeficientes correspondentes:
  1. Para :
    • Coeficiente:
  2. Para :
    • Coeficiente:
  3. Para :
    • Coeficiente:

Passo 6

Por fim, a matriz da transformação será uma matriz onde cada coluna corresponde aos coeficientes que encontramos para cada vetor da base em relação à base .

Resposta

A matriz da transformação linear [T]beta^alpha = 38 & 78 & -34 em relação às bases e é:

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