Seja
o subespaço de
formado pelos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero. Construa um isomorfismo de
.
Passo 1
Entendendo o Enunciado e o Conteúdo Envolvido
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um espaço chamado
, que é um subespaço de
. Esse espaço
contém todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. O subespaço
é formado pelos polinômios cujas somas dos coeficientes são iguais a zero.
Nosso objetivo é construir um isomorfismo entre
e
. Um isomorfismo, em termos simples, é uma função que estabelece uma correspondência de um para um entre dois espaços vetoriais, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. Para fazer isso, precisaremos entender como representar os elementos de
dentro de
de maneira que essa correspondência seja perfeita.
Passo 2
Analisando as Dimensões dos Espaços
Primeiro, vamos verificar as dimensões dos espaços envolvidos para garantir que um isomorfismo seja possível.
- O espaço
tem dimensão 3, pois possui três componentes. - O espaço
tem dimensão 4, já que um polinômio de grau até 3 pode ser escrito como e tem quatro coeficientes. - O subespaço
impõe uma condição a mais: a soma dos coeficientes deve ser zero. Isso reduz a dimensão de para 3, já que uma das variáveis pode ser expressa em termos das outras três.
Como ambos os espaços
e
têm a mesma dimensão, é possível construir um isomorfismo entre eles.
Passo 3
Definindo o Isomorfismo
Vamos construir uma função
que será nosso isomorfismo. Para isso, precisamos associar a cada vetor
de
um polinômio em
de forma que a soma dos coeficientes desse polinômio seja zero.
Uma boa estratégia é fixar os primeiros três coeficientes com os componentes do vetor e determinar o quarto coeficiente de forma que a soma seja zero.
Então, definimos:
Aqui, os coeficientes do polinômio são:
Dessa forma, a soma dos coeficientes é:
O que satisfaz a condição para estar em
.
Passo 4
Verificando se a Função é Inversível
Para garantir que
seja um isomorfismo, precisamos mostrar que ela é bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
-
Injetora: Diferentes vetores em
são mapeados para diferentes polinômios em . Se , então , e , garantindo que seja injetora. -
Sobrejetora: Todo polinômio em
pode ser escrito na forma com . Podemos sempre encontrar , e para que produza esse polinômio, garantindo que seja sobrejetora.
Como
é bijetora, ela é um isomorfismo.
Resposta
Um isomorfismo de
em
é dado por: