Seja W o subespaço de P3(R) formado pelos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero. Construa um isomorfismo de R^3 em W.

Passo 1

Entendendo o Enunciado e o Conteúdo Envolvido
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um espaço chamado , que é um subespaço de . Esse espaço contém todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. O subespaço é formado pelos polinômios cujas somas dos coeficientes são iguais a zero.
Nosso objetivo é construir um isomorfismo entre e . Um isomorfismo, em termos simples, é uma função que estabelece uma correspondência de um para um entre dois espaços vetoriais, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. Para fazer isso, precisaremos entender como representar os elementos de dentro de de maneira que essa correspondência seja perfeita.

Passo 2

Analisando as Dimensões dos Espaços
Primeiro, vamos verificar as dimensões dos espaços envolvidos para garantir que um isomorfismo seja possível.
  • O espaço tem dimensão 3, pois possui três componentes.
  • O espaço tem dimensão 4, já que um polinômio de grau até 3 pode ser escrito como e tem quatro coeficientes.
  • O subespaço impõe uma condição a mais: a soma dos coeficientes deve ser zero. Isso reduz a dimensão de para 3, já que uma das variáveis pode ser expressa em termos das outras três.
Como ambos os espaços e têm a mesma dimensão, é possível construir um isomorfismo entre eles.

Passo 3

Definindo o Isomorfismo
Vamos construir uma função phi(x, y, z) = x + yx + zx^2 + (-x - y - z)x^3 que será nosso isomorfismo. Para isso, precisamos associar a cada vetor a0 + a1 + a2 + a3 = x + y + z + (-x - y - z) = 0 de um polinômio em de forma que a soma dos coeficientes desse polinômio seja zero.
Uma boa estratégia é fixar os primeiros três coeficientes com os componentes do vetor e determinar o quarto coeficiente de forma que a soma seja zero.
Então, definimos:
Aqui, os coeficientes do polinômio são:
Dessa forma, a soma dos coeficientes é:
O que satisfaz a condição para estar em .

Passo 4

Verificando se a Função é Inversível
Para garantir que seja um isomorfismo, precisamos mostrar que ela é bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
  • Injetora: Diferentes vetores em são mapeados para diferentes polinômios em . Se , então , e , garantindo que seja injetora.
  • Sobrejetora: Todo polinômio em pode ser escrito na forma com . Podemos sempre encontrar , e para que produza esse polinômio, garantindo que seja sobrejetora.
Como é bijetora, ela é um isomorfismo.

Resposta

Um isomorfismo de phi(x, y, z) = x + yx + zx^2 + (-x - y - z)x^3 em é dado por:

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