Sabe-se que um dos catetos de um triângulo retângulo mede 10 cm de comprimento e o ângulo adjacente foi medido como 60 graus, com um erro possível de +- 1°
a) Use diferenciais para estimar o erro no cálculo da hipotenusa.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um triângulo retângulo onde um dos catetos mede 10 cm e o ângulo adjacente a esse cateto é de 60 graus, com uma possível variação de +- 1°. O objetivo é usar diferenciais para estimar o erro no cálculo da hipotenusa desse triângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de trigonometria, derivadas e diferenciais.

Passo 2

Vamos começar identificando a relação trigonométrica que conecta o cateto, o ângulo e a hipotenusa. No triângulo retângulo, o cosseno do ângulo adjacente é igual ao cateto adjacente dividido pela hipotenusa:
Como temos o cateto adjacente (10 cm) e o ângulo ( 60 graus), podemos rearranjar essa fórmula para encontrar a hipotenusa ( h):

Passo 3

Agora, queremos encontrar como uma pequena variação no ângulo ( ) afeta a hipotenusa ( ). Para isso, vamos derivar a expressão de h em relação a theta:
Aqui, usamos a regra de derivação para funções do tipo .

Passo 4

Com a derivada encontrada, podemos expressar a variação na hipotenusa ( ) em termos da variação no ângulo ( ):
Antes de calcular, precisamos converter o ângulo e sua variação de graus para radianos, já que as derivadas trigonométricas são definidas em termos de radianos. Sabemos que:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na expressão de :
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Calculando numericamente (aproximando e ):

Resposta

O erro estimado no cálculo da hipotenusa é de aproximadamente cm.

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