Sabe-se que um dos catetos de um triângulo retângulo mede 10 cm de comprimento e o ângulo adjacente foi medido como
, com um erro possível de
a) Use diferenciais para estimar o erro no cálculo da hipotenusa.
a) Use diferenciais para estimar o erro no cálculo da hipotenusa.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um triângulo retângulo onde um dos catetos mede 10 cm e o ângulo adjacente a esse cateto é de
, com uma possível variação de
. O objetivo é usar diferenciais para estimar o erro no cálculo da hipotenusa desse triângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de trigonometria, derivadas e diferenciais.
Passo 2
Vamos começar identificando a relação trigonométrica que conecta o cateto, o ângulo e a hipotenusa. No triângulo retângulo, o cosseno do ângulo adjacente é igual ao cateto adjacente dividido pela hipotenusa:
Como temos o cateto adjacente (10 cm) e o ângulo (
), podemos rearranjar essa fórmula para encontrar a hipotenusa (
):
Passo 3
Agora, queremos encontrar como uma pequena variação no ângulo (
) afeta a hipotenusa (
). Para isso, vamos derivar a expressão de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra de derivação para funções do tipo
.
Passo 4
Com a derivada encontrada, podemos expressar a variação na hipotenusa (
) em termos da variação no ângulo (
):
Antes de calcular, precisamos converter o ângulo e sua variação de graus para radianos, já que as derivadas trigonométricas são definidas em termos de radianos. Sabemos que:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na expressão de
:
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Calculando numericamente (aproximando
e
):
Resposta
O erro estimado no cálculo da hipotenusa é de aproximadamente
cm.