Suponha que não tenhamos uma fórmula para f(x), mas saibamos que f(1) = 3 e f'(x) = 1 / (3 * raiz(cubica((x + 26)^2))) para todo x. Use aproximação linear para estimar f(0.7) e f(1, 3).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função para a qual não conhecemos a fórmula completa. Porém, sabemos que e que a derivada de , ou seja, , é igual a para qualquer valor de . Nosso objetivo é usar a aproximação linear para estimar os valores de e . Para isso, vamos precisar entender o que é a aproximação linear e como aplicá-la.

Passo 2

A aproximação linear é uma maneira de estimar o valor de uma função próxima a um ponto conhecido usando a reta tangente nesse ponto. A fórmula geral para a aproximação linear de em torno de é:
Aqui, é o valor da função no ponto e é a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 3

Vamos escolher o ponto , já que sabemos que e temos a expressão para . Primeiro, precisamos calcular .
Substituindo :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da aproximação linear com :
Essa expressão vai nos ajudar a estimar e .

Passo 5

Vamos calcular :

Passo 6

Agora, vamos calcular :

Resposta

Usando a aproximação linear, os valores estimados são:

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