Sabe-se que é uma matriz diagonal (bi j= 0 se i neq j ), sabendo que
A.B =[ccc2 & 3 & 10 6 & 12 & 25 4 & 9 & 20]. Determine os valores de x, y e z. Em seguida calcule o determinante da matriz A^t.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve matrizes e determinantes, que são partes da álgebra linear. Precisamos encontrar os valores de , e na matriz e depois calcular o determinante da transposta de , ou seja, . Para isso, vamos usar a propriedade de multiplicação de matrizes e entender como uma matriz diagonal funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as matrizes dadas:
A = x & 1 & 2 3 & y & 5 2 & 3 & z , B = b11 & 0 & 0 0 & b22 & 0 0 & 0 & b33
A matriz é uma matriz diagonal, o que significa que todos os elementos fora da diagonal principal são zero.
Passo 3
Quando multiplicamos AB = 2 & 3 & 10 6 & 12 & 25 4 & 9 & 20 por , a matriz resultante é:
Como é diagonal, a multiplicação vai multiplicar cada coluna de pelo correspondente elemento diagonal de . Ou seja:
Primeira coluna de multiplicada por
Segunda coluna de multiplicada por
Terceira coluna de multiplicada por
Passo 4
Vamos montar as equações para cada coluna:
Primeira coluna:
x cdot b11 = 2 3 cdot b11 = 6 2 cdot b11 = 4
Resolvendo essas equações, vemos que e, consequentemente, .
Passo 5
Segunda coluna:
1 cdot b22 = 3 y cdot b22 = 12 3 cdot b22 = 9
Aqui, . Então, .
Passo 6
Terceira coluna:
2 cdot b33 = 10 5 cdot b33 = 25 z cdot b33 = 20
Dessas, . Assim, .
Passo 7
Agora que temos A = 1 & 1 & 2 3 & 4 & 5 2 & 3 & 4 , e , podemos escrever a matriz completa:
Passo 8
Vamos calcular o determinante da transposta de det(A) = 1 cdot (4 cdot 4 - 5 cdot 3) - 1 cdot (3 cdot 4 - 5 cdot 2) + 2 cdot (3 cdot 3 - 4 cdot 2) . Primeiro, lembrando que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original, ou seja, det(A) = 1 cdot (16 - 15) - 1 cdot (12 - 10) + 2 cdot (9 - 8) = 1 cdot 1 - 1 cdot 2 + 2 cdot 1 = 1 - 2 + 2 = 1 .
Para calcular , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui: