Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte distribuição: f(x) = cx², 0< x < 2. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da constante c:
1/2
7/8
5/8
3/8
1/4
1/2
7/8
5/8
3/8
1/4
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com a função de densidade $ f(x) = c x^2 $ no intervalo de 0 a 2. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor da constante $ c $ que faz essa função ser uma distribuição de probabilidade válida. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e distribuição de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que para uma função ser uma função de densidade válida, a integral dela em todo o seu domínio precisa ser igual a 1. Ou seja, a área sob a curva da função $ f(x) $ entre 0 e 2 deve ser igual a 1. Vamos escrever isso matematicamente:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral para encontrar o valor de $ c $. Primeiro, integramos $ x^2 $:
Então, aplicando os limites de integração:
Passo 4
Agora, basta isolar $ c $:
Resposta
O valor correto da constante $ c $ é $ \frac{3}{8} $.