Seja uma função tal que . Esboce um possível gráfico de , supondo que ele não intercepte uma assíntota horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que tem algumas características específicas. A gente sabe o valor de em , os limites quando vai para mais ou menos infinito, e também como a função se comporta perto de e . Vamos precisar entender sobre assíntotas horizontais e verticais, além de como essas informações influenciam o formato do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre assíntotas horizontais. Uma assíntota horizontal é uma linha que o gráfico da função se aproxima mas nunca toca quando vai para ou . No nosso caso, temos:
Isso significa que o gráfico de tem uma assíntota horizontal em .

Passo 3

Agora, vamos olhar para as assíntotas verticais. Essas ocorrem em pontos onde a função cresce para ou decresce para . No exercício, temos:
Isso indica que existem assíntotas verticais em e .

Passo 4

Sabemos também que . Isso nos dá um ponto específico no gráfico: quando , . Esse ponto nos ajuda a posicionar o gráfico entre as assíntotas e a assíntota horizontal.

Passo 5

Vamos combinar tudo isso para desenhar o gráfico:
  1. Assíntota horizontal em .
  2. Assíntota vertical em , com indo para pela esquerda e pela direita.
  3. Assíntota vertical em , com indo para pela esquerda e pela direita.
  4. O ponto está acima da assíntota horizontal, indicando que o gráfico passa por esse ponto antes de se aproximar da assíntota.

Resposta

O gráfico de possui uma assíntota horizontal em , assíntotas verticais em e , com a função subindo para quando se aproxima de pela esquerda e descendo para pela direita. Em , a função desce para pela esquerda e sobe para pela direita. Além disso, passa pelo ponto . O gráfico não cruza a assíntota horizontal e segue essas comportamentos conforme varia.

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