Seja
uma função tal que
. Esboce um possível gráfico de
, supondo que ele não intercepte uma assíntota horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico de uma função
que tem algumas características específicas. A gente sabe o valor de
em
, os limites quando
vai para mais ou menos infinito, e também como a função se comporta perto de
e
. Vamos precisar entender sobre assíntotas horizontais e verticais, além de como essas informações influenciam o formato do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas horizontais. Uma assíntota horizontal é uma linha que o gráfico da função se aproxima mas nunca toca quando
vai para
ou
. No nosso caso, temos:
Isso significa que o gráfico de
tem uma assíntota horizontal em
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as assíntotas verticais. Essas ocorrem em pontos onde a função cresce para
ou decresce para
. No exercício, temos:
Isso indica que existem assíntotas verticais em
e
.
Passo 4
Sabemos também que
. Isso nos dá um ponto específico no gráfico: quando
,
. Esse ponto nos ajuda a posicionar o gráfico entre as assíntotas e a assíntota horizontal.
Passo 5
Vamos combinar tudo isso para desenhar o gráfico:
- Assíntota horizontal em
. - Assíntota vertical em
, com indo para pela esquerda e pela direita. - Assíntota vertical em
, com indo para pela esquerda e pela direita. - O ponto
está acima da assíntota horizontal, indicando que o gráfico passa por esse ponto antes de se aproximar da assíntota.
Resposta
O gráfico de
possui uma assíntota horizontal em
, assíntotas verticais em
e
, com a função subindo para
quando se aproxima de
pela esquerda e descendo para
pela direita. Em
, a função desce para
pela esquerda e sobe para
pela direita. Além disso, passa pelo ponto
. O gráfico não cruza a assíntota horizontal e segue essas comportamentos conforme
varia.