Sabemos que, para x > 0, log_a(x) = ln(x) / ln(a), com a > 0 e a <> 1. Utilizando a mudança de base apresentada, determine a derivada de cada um das funções abaixo.
f(x) = log2(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas e utiliza a mudança de base dos logaritmos. Para resolver, vamos usar a fórmula de mudança de base que converte o logaritmo de qualquer base para a base natural ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a fórmula de mudança de base para reescrever em termos de logaritmos naturais. A fórmula é:
Aqui, , então substituindo:

Passo 3

Agora que reescrevemos a função, vamos calcular a derivada de em relação a . Lembre-se que a constante não depende de , então podemos tratá-la como um número fixo.
A derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da derivada:

Passo 4

Calculando a derivada:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Faça o esboço do gráfico das funções abaixo.
f(x) = raiz(x^2 - 4)
Sejam f(x) = x^3 + 9x e g(x) = x^4 - 8 x^3. Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função f e g, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.
Derive cada um das funções abaixo.
f(x) = csc(3 x)
Para cada função abaixo, determine f^n(x), onde
f(x) = 2 x^4 + 3, n = 3.