Sejam
e
. Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função
e
, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrarmos os pontos de inflexão das funções
e
, se existirem. Além disso, precisamos determinar onde cada gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados às derivadas, especialmente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade dos gráficos.
Passo 2
Vamos começar com a função
. Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada dessa função, pois ela nos dirá sobre a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 3
Primeira Derivada de
:
A primeira derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
Passo 4
Segunda Derivada de
:
A segunda derivada nos informa sobre a concavidade da função.
Passo 5
Encontrando os Pontos de Inflexão de
:
Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada é zero ou não está definida. Vamos igualar
a zero:
Então,
é um candidato a ponto de inflexão.
Passo 6
Analisando a Concavidade de
:
Vamos verificar o sinal de
em torno de
:
-
Para
: -
Para
:
Como houve uma mudança de concavidade ao passar de
para
,
é realmente um ponto de inflexão.
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo para a função
.
Primeira Derivada de
:
Passo 8
Segunda Derivada de
:
Passo 9
Encontrando os Pontos de Inflexão de
:
Igualamos a segunda derivada a zero:
Então, temos dois candidatos a pontos de inflexão:
e
.
Passo 10
Analisando a Concavidade de
:
Vamos verificar o sinal de
em torno de
e
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
-
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
-
Como houve mudanças de concavidade em ambos os pontos
e
, eles são realmente pontos de inflexão.
Resposta
-
Função
: - Ponto de Inflexão:
- Concavidade:
- Côncava para baixo quando
- Côncava para cima quando
- Côncava para baixo quando
- Ponto de Inflexão:
-
Função
: - Pontos de Inflexão:
e - Concavidade:
- Côncava para cima quando
e - Côncava para baixo quando
- Côncava para cima quando
- Pontos de Inflexão:
Exercícios relacionados
Para cada função abaixo, determine
, onde
.
Derive cada um das funções abaixo.
Faça o esboço do gráfico das funções abaixo.
Sabemos que, para
, com
e
. Utilizando a mudança de base apresentada, determine a derivada de cada um das funções abaixo.
.