Sejam f(x) = x^3 + 9x e g(x) = x^4 - 8 x^3. Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função f e g, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo.

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrarmos os pontos de inflexão das funções e , se existirem. Além disso, precisamos determinar onde cada gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados às derivadas, especialmente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade dos gráficos.

Passo 2

Vamos começar com a função . Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada dessa função, pois ela nos dirá sobre a concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 3

Primeira Derivada de :
A primeira derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.

Passo 4

Segunda Derivada de :
A segunda derivada nos informa sobre a concavidade da função.

Passo 5

Encontrando os Pontos de Inflexão de :
Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada é zero ou não está definida. Vamos igualar a zero:
Então, é um candidato a ponto de inflexão.

Passo 6

Analisando a Concavidade de :
Vamos verificar o sinal de em torno de :
  • Para :
  • Para :
Como houve uma mudança de concavidade ao passar de para , é realmente um ponto de inflexão.

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo para a função .
Primeira Derivada de :

Passo 8

Segunda Derivada de :

Passo 9

Encontrando os Pontos de Inflexão de :
Igualamos a segunda derivada a zero:
Então, temos dois candidatos a pontos de inflexão: e .

Passo 10

Analisando a Concavidade de :
Vamos verificar o sinal de em torno de e :
  • Para :
    • Para :
    • Para :
  • Para :
    • Para :
    • Para :
Como houve mudanças de concavidade em ambos os pontos e , eles são realmente pontos de inflexão.

Resposta

  • Função :
    • Ponto de Inflexão:
    • Concavidade:
      • Côncava para baixo quando
      • Côncava para cima quando
  • Função :
    • Pontos de Inflexão: e
    • Concavidade:
      • Côncava para cima quando e
      • Côncava para baixo quando

Exercícios relacionados

Para cada função abaixo, determine f^n(x), onde
f(x) = sen(x), n = 2.
Derive cada um das funções abaixo.
f(x) = ln(tg(x))
Faça o esboço do gráfico das funções abaixo.
f(x) = raiz(x^2 - 4)
Sabemos que, para x > 0, log_a(x) = ln(x) / ln(a), com a > 0 e a <> 1. Utilizando a mudança de base apresentada, determine a derivada de cada um das funções abaixo.
f(x) = log2(x).