Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma desigualdade envolvendo expressões com e , e nos pede para calcular o limite de uma fração quando se aproxima de . A matéria aqui é limites de funções de várias variáveis, e vamos precisar usar o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema da Aperto) para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, olhemos a desigualdade dada:
Nosso objetivo é encontrar o limite de:
quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos dividir todas as partes da desigualdade por (lembrando que enquanto nos aproximamos de ):
Simplificando cada parte:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de :
  • tende a 0, então também tende a 0.
  • Assim, a expressão fica:
Ou seja:

Passo 5

Pelo Teorema do Sanduíche, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite. Aqui, ambas as extremidades da desigualdade são 2 quando tende a .

Passo 6

Portanto, concluímos que:

Resposta

O limite é igual a 2.

Exercícios relacionados

Considere a função . Usando uma calculadora, crie uma tabela com as colunas e usando 6 casas decimais para fazer uma estimativa sobre os seguintes limites:
a. , fazendo
Utilise o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da face superior da superfície acima do plano .
Considere a função . Usando uma calculadora, crie uma tabela com as colunas e usando 6 casas decimais para fazer uma estimativa sobre os seguintes limites:
c. , fazendo
Utilise o Teorema de Green para calcular a integral do campo vetorial
ao longo da circunferência