Sabendo que
2|x y|-x^2 y^26<4-4 cos raiz|x y|<2|x y|
você pode dizer algo sobre
lim (x, y) (0,0) 4-4 cos raiz|x y||x y| ?
Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma desigualdade envolvendo expressões com e , e nos pede para calcular o limite de uma fração quando se aproxima de . A matéria aqui é limites de funções de várias variáveis, e vamos precisar usar o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema da Aperto) para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, olhemos a desigualdade dada:
2|x y| - x^2 y^26 < 4 - 4 cos raiz|x y| < 2|x y|
Nosso objetivo é encontrar o limite de:
4 - 4 cos raiz|x y||x y|
quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos dividir todas as partes da desigualdade por 2|x y| - x^2 y^26|x y| < 4 - 4 cos raiz|x y||x y| < 2|x y||x y| (lembrando que 2 - x y6 < 4 - 4 cos raiz|x y||x y| < 2 enquanto nos aproximamos de ):
Simplificando cada parte:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando 2 - 0 < 4 - 4 cos raiz|x y||x y| < 2 se aproxima de 2 < 4 - 4 cos raiz|x y||x y| < 2 :
  • tende a 0, então também tende a 0.
  • Assim, a expressão fica:
Ou seja:

Passo 5

Pelo Teorema do Sanduíche, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite. Aqui, ambas as extremidades da desigualdade são 2 quando tende a .

Passo 6

Portanto, concluímos que:
lim (x, y) (0,0) 4 - 4 cos raiz|x y||x y| = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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