Utilise o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
F=(x^2 y1+y^2+6 y z^2) i+2 x arctan y j-2 x z(1+y)+1+y^21+y^2 k
através da face superior da superfície z=1-x^2-y^2 acima do plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de um campo vetorial dado através da face superior de uma superfície que está acima do plano . Ou seja, vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro da região limitada pela superfície. Precisamos, então, entender o Teorema da Divergência e como aplicá-lo para encontrar o fluxo solicitado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial integral duplapartial V F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV através de uma superfície fechada é igual à integral dupla da divergência de sobre o volume limitado por essa superfície. Em fórmula:
Aqui, é a divergência do campo vetorial .

Passo 3

Vamos identificar o volume e a superfície fechada para aplicar o teorema. A superfície dada é , que é um paraboloide, e vamos considerar apenas a parte acima do plano , ou seja, . Para fechar a superfície, precisamos incluir a base no plano , onde .

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial F = (x^2 y1+y^2 + 6 y z^2) i + 2 x arctan y j - 2 x z(1+y) + 1 + y^21 + y^2 k . O campo é dado por:
nabla cdot F = partialpartial x(x^2 y1+y^2 + 6 y z^2) + partialpartial y(2 x arctan y) + partialpartial z(-2 x z(1+y) + 1 + y^21 + y^2)
A divergência é calculada como:

Passo 5

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada em relação a partialpartial x(x^2 y1+y^2 + 6 y z^2) = 2x y1 + y^2 + 0 = 2x y1 + y^2 :
partialpartial y(2 x arctan y) = 2x cdot 11 + y^2
  1. Derivada em relação a partialpartial z(-2 x z(1+y) + 1 + y^21 + y^2) = -2x(1 + y)1 + y^2 :
  1. Derivada em relação a :

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar a divergência:
nabla cdot F = 2x y1 + y^2 + 2x1 + y^2 - 2x(1 + y)1 + y^2
Simplificando os termos:
2x y + 2x - 2x(1 + y)1 + y^2 = 2x y + 2x - 2x - 2x y1 + y^2 = 0

Passo 7

A divergência integral duplapartial V F cdot n , dS = 0 é zero. Segundo o Teorema da Divergência, isso implica que o fluxo total do campo vetorial através da superfície fechada é zero:

Passo 8

A superfície fechada Fluxo através do paraboloide = - Fluxo através da base consiste do paraboloide Fluxo através do paraboloide = -0 = 0 e da base no plano . Então, o fluxo através do paraboloide é igual ao fluxo negativo através da base. Ou seja:
éé
Como a divergência total é zero, temos:
é

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da face superior da superfície é 0.

Exercícios relacionados