Utilise o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da face superior da superfície acima do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de um campo vetorial dado através da face superior de uma superfície que está acima do plano . Ou seja, vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro da região limitada pela superfície. Precisamos, então, entender o Teorema da Divergência e como aplicá-lo para encontrar o fluxo solicitado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral dupla da divergência de sobre o volume limitado por essa superfície. Em fórmula:
Aqui, é a divergência do campo vetorial .

Passo 3

Vamos identificar o volume e a superfície fechada para aplicar o teorema. A superfície dada é , que é um paraboloide, e vamos considerar apenas a parte acima do plano , ou seja, . Para fechar a superfície, precisamos incluir a base no plano , onde .

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial . O campo é dado por:
A divergência é calculada como:

Passo 5

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar a divergência:
Simplificando os termos:

Passo 7

A divergência é zero. Segundo o Teorema da Divergência, isso implica que o fluxo total do campo vetorial através da superfície fechada é zero:

Passo 8

A superfície fechada consiste do paraboloide e da base no plano . Então, o fluxo através do paraboloide é igual ao fluxo negativo através da base. Ou seja:
éé
Como a divergência total é zero, temos:
é

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da face superior da superfície é 0.

Exercícios relacionados

Considere a função . Usando uma calculadora, crie uma tabela com as colunas e usando 6 casas decimais para fazer uma estimativa sobre os seguintes limites:
b. , fazendo
Explique o que significa dizer que e . Para este caso, é possível que o exista? Explique.
Considere a função . Usando uma calculadora, crie uma tabela com as colunas e usando 6 casas decimais para fazer uma estimativa sobre os seguintes limites:
a. , fazendo
Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.