Utilise o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da face superior da superfície
acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de um campo vetorial dado através da face superior de uma superfície
que está acima do plano
. Ou seja, vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro da região limitada pela superfície. Precisamos, então, entender o Teorema da Divergência e como aplicá-lo para encontrar o fluxo solicitado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral dupla da divergência de
sobre o volume
limitado por essa superfície. Em fórmula:
Aqui,
é a divergência do campo vetorial
.
Passo 3
Vamos identificar o volume
e a superfície fechada
para aplicar o teorema. A superfície dada é
, que é um paraboloide, e vamos considerar apenas a parte acima do plano
, ou seja,
. Para fechar a superfície, precisamos incluir a base no plano
, onde
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. O campo é dado por:
A divergência
é calculada como:
Passo 5
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 6
Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar a divergência:
Simplificando os termos:
Passo 7
A divergência
é zero. Segundo o Teorema da Divergência, isso implica que o fluxo total do campo vetorial através da superfície fechada
é zero:
Passo 8
A superfície fechada
consiste do paraboloide
e da base no plano
. Então, o fluxo através do paraboloide é igual ao fluxo negativo através da base. Ou seja:
Como a divergência total é zero, temos:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da face superior da superfície é 0.
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Considere a função
. Usando uma calculadora, crie uma tabela com as colunas
e
usando 6 casas decimais para fazer uma estimativa sobre os seguintes limites:
b. , fazendo
b.
Explique o que significa dizer que
e
. Para este caso, é possível que o
exista? Explique.
Considere a função
. Usando uma calculadora, crie uma tabela com as colunas
e
usando 6 casas decimais para fazer uma estimativa sobre os seguintes limites:
a. , fazendo
a.
Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.