Sabendo-se que ang<=(u, v)=60^circ,|u|=8 e |v|=5, calcule |2 u-v|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o módulo do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de algebra vetorial, especialmente a fórmula para a magnitude de uma combinação linear de vetores. Vamos precisar das magnitudes dos vetores e , além do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que a gente já sabe:
  • O ângulo entre e é .
  • A magnitude de é .
  • A magnitude de é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de |2u| = 2 times |u| = 2 times 8 = 16 . Como estamos multiplicando o vetor por 2, a magnitude também é multiplicada por 2:

Passo 4

Para encontrar |a - b| = raiz|a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cos(theta) , vamos usar a fórmula da magnitude da diferença de dois vetores:
Onde é o ângulo entre os vetores e .

Passo 5

Aplicando essa fórmula no nosso caso, onde |2u - v| = raiz|2u|^2 + |v|^2 - 2|2u||v|cos(60^circ) e |2u - v| = raiz16^2 + 5^2 - 2 times 16 times 5 times cos(60^circ) , e :
Substituindo os valores que já temos:

Passo 6

Sabemos que |2u - v| = raiz256 + 25 - 2 times 16 times 5 times 0,5 . Vamos substituir esse valor na expressão:
|2u - v| = raiz256 + 25 - 80

Passo 7

Fazendo as contas dentro da raiz:
256 + 25 = 281
281 - 80 = 201
Portanto:
|2u - v| = raiz201

Resposta

A magnitude de é .

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