Quais das transformações abaixo são lineares?
(h) T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(|x|, 2 x+2 y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a transformação , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que envolvem propriedades das transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores e todo escalar :
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Então, para verificar se é linear, precisamos testar essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos começar pela homogeneidade. Pegamos um vetor arbitrário T(c(x, y)) = T(cx, cy) = (|cx|, 2(cx) + 2(cy)) = (c|x|, 2c x + 2c y) e um escalar cT(x, y) = c(|x|, 2x + 2y) = (c|x|, c(2x + 2y)) = (c|x|, 2c x + 2c y) :
Por outro lado:
Observamos que , então a propriedade de homogeneidade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a aditividade. Tomamos dois vetores T((x1, y1) + (x2, y2)) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (|x1 + x2|, 2(x1 + x2) + 2(y1 + y2)) e T(x1, y1) + T(x2, y2) = (|x1|, 2x1 + 2y1) + (|x2|, 2x2 + 2y2) = (|x1| + |x2|, 2x1 + 2y1 + 2x2 + 2y2) :
E:
Comparando as duas expressões, vemos que:
  • A segunda componente é igual:
  • A primeira componente, no entanto, nem sempre é igual: nem sempre é igual a (por exemplo, se e têm sinais opostos).
Isso significa que a propriedade de aditividade não é satisfeita em todos os casos.

Resposta

Como a transformação não satisfaz a propriedade de aditividade em geral, ela não é uma transformação linear.

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