Quais das transformações abaixo são lineares?
(h)
.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a transformação
, definida por
, é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que envolvem propriedades das transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores
e todo escalar
:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Então, para verificar se
é linear, precisamos testar essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos começar pela homogeneidade. Pegamos um vetor arbitrário
e um escalar
:
Por outro lado:
Observamos que
, então a propriedade de homogeneidade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a aditividade. Tomamos dois vetores
e
:
E:
Comparando as duas expressões, vemos que:
- A segunda componente é igual:
- A primeira componente, no entanto, nem sempre é igual:
nem sempre é igual a (por exemplo, se e têm sinais opostos).
Isso significa que a propriedade de aditividade não é satisfeita em todos os casos.
Resposta
Como a transformação
não satisfaz a propriedade de aditividade em geral, ela não é uma transformação linear.