Para todo x neq 0 em R, prove que (1+x)^2 n>1+2 n x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que para todo número real diferente de zero, a expressão é maior que . Isso está relacionado a propriedades de exponenciação e desigualdades. Vamos precisar entender como funcionam as potências e usar algumas regras básicas de desigualdade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para qualquer número real e inteiro positivo , significa elevar à potência . Como é um número par, isso nos garante que será sempre positivo, independentemente do valor de .

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão (1+x)^k = 1 + kx + k(k-1)2!x^2 + dots + x^k usando o binômio de Newton. A expansão de (1+x)^2n = 1 + 2n x + 2n(2n-1)2x^2 + dots + x^2n é dada por:
Para , temos:

Passo 4

Observando a expansão, percebemos que além do termo , todos os outros termos são positivos quando é positivo, já que são positivos. Isso significa que é maior que quando .

Passo 5

Para o caso em que , como é par, ainda será positivo. Por outro lado, será menor que 1, pois será negativo. Portanto, mesmo para , temos .

Resposta

Assim, provamos que para todo em , a desigualdade é verdadeira.

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