Para todo
em
, prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que para todo número real
diferente de zero, a expressão
é maior que
. Isso está relacionado a propriedades de exponenciação e desigualdades. Vamos precisar entender como funcionam as potências e usar algumas regras básicas de desigualdade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para qualquer número real
e inteiro positivo
,
significa elevar
à potência
. Como
é um número par, isso nos garante que
será sempre positivo, independentemente do valor de
.
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão
usando o binômio de Newton. A expansão de
é dada por:
Para
, temos:
Passo 4
Observando a expansão, percebemos que além do termo
, todos os outros termos são positivos quando
é positivo, já que
são positivos. Isso significa que
é maior que
quando
.
Passo 5
Para o caso em que
, como
é par,
ainda será positivo. Por outro lado,
será menor que 1, pois
será negativo. Portanto, mesmo para
, temos
.
Resposta
Assim, provamos que para todo
em
, a desigualdade
é verdadeira.