Quais das transformações abaixo são lineares?
(i) T: P3(R) longrightarrow R^2, T(a0+a1 t+a2 t^2+a3 t^3)= (a3+a2-a1, a0)

Passo 1

Beleza, vamos analisar a questão! A gente precisa descobrir se a transformação T(a0 + a1 t + a2 t^2 + a3 t^3) = (a3 + a2 - a1, a0) definida por
é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear da matéria de Álgebra Linear e verificar duas propriedades fundamentais: preservação da adição e da multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e no espaço de partida e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. (preservação da adição)
  2. (preservação da multiplicação por escalar)

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: preservação da adição. Seja T(p(t) + q(t)) = T( (a0 + b0) + (a1 + b1) t + (a2 + b2) t^2 + (a3 + b3) t^3 ) = ( (a3 + b3) + (a2 + b2) - (a1 + b1), a0 + b0 ) e T(p(t)) + T(q(t)) = ( a3 + a2 - a1, a0 ) + ( b3 + b2 - b1, b0 ) = ( (a3 + a2 - a1) + (b3 + b2 - b1), a0 + b0 ) . Então:
Por outro lado:
Vemos que , então a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: preservação da multiplicação por escalar. Seja T(c cdot p(t)) = T( (c a0) + (c a1) t + (c a2) t^2 + (c a3) t^3 ) = ( c a3 + c a2 - c a1, c a0 ) = c cdot ( a3 + a2 - a1, a0 ) = c T(p(t)) um escalar e . Então:
Isso mostra que , então a segunda propriedade também é satisfeita.

Resposta

A transformação é linear.

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