Quais das transformações abaixo são lineares?
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Passo 1
Beleza, vamos analisar a questão! A gente precisa descobrir se a transformação
definida por
é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear da matéria de Álgebra Linear e verificar duas propriedades fundamentais: preservação da adição e da multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
no espaço de partida e para qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
-
(preservação da adição) -
(preservação da multiplicação por escalar)
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: preservação da adição. Seja
e
. Então:
Por outro lado:
Vemos que
, então a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade: preservação da multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Então:
Isso mostra que
, então a segunda propriedade também é satisfeita.
Resposta
A transformação
é linear.