Sabendo que ang<=(u, v)=pi / 6,|u|=raiz3 e |v|=1, calcule cos ang<=(u+v, u-v).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente sabe que o ângulo entre os vetores u e v é pi/6, com normas |u| = raiz3 e |v| = 1. Precisamos calcular o cosseno do ângulo entre u + v e u - v. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores a e b é dado por:
a cdot b = |a| , |b| cos(theta),
onde theta é o ângulo entre eles. Com isso, podemos calcular o produto escalar entre u e v:
u cdot v = |u| , |v| cos(pi6) = raiz3 times 1 times raiz32 = 32

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre u + v e u - v:
(u + v) cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v + v cdot u - v cdot v
Sabendo que u cdot u = |u|^2 = 3, v cdot v = |v|^2 = 1, e u cdot v = 32, temos:
(u + v) cdot (u - v) = 3 - 32 + 32 - 1 = 2

Passo 4

Vamos calcular agora as normas de u + v e u - v. Usamos a fórmula:
|a pm b|^2 = |a|^2 + |b|^2 pm 2 a cdot b
Para u + v:
|u + v|^2 = 3 + 1 + 2 times 32 = 7 Rightarrow |u + v| = raiz7
Para u - v:
|u - v|^2 = 3 + 1 - 2 times 32 = 1 Rightarrow |u - v| = 1

Passo 5

Finalmente, o cosseno do ângulo entre u + v e u - v é dado por:
cos(theta) = (u + v) cdot (u - v)|u + v| , |u - v| = 2raiz7 times 1 = 2raiz7

Resposta

O valor de cos ang<=(u+v, u-v) é dfrac2raiz7.

Exercícios relacionados