Seja a transformação linear T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(2 x+y, x-3 y, 2 y), e as bases: beta=(1,-1),(1,2)=v1, v2 e
beta^prime=(0,1,1),(0,1,-1),(1,0,0)=w1, w2, w3. Determinar [T]beta^beta. Qual a matriz [T]alpha^beta, em que alpha é a base canônica? Detalhar o desenvolvimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares e mudanças de base. Precisamos encontrar duas matrizes específicas para a transformação definida por . As bases envolvidas são no domínio e no contradomínio. Vamos precisar usar conceitos de matrizes de transformação e mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz da transformação . Essa matriz representa como age nos vetores da base e expressa os resultados também na base . Para isso, precisamos aplicar a cada vetor da base e depois expressar os resultados na base .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T(1, -1) = (2(1) + (-1), 1 - 3(-1), 2(-1)) = (2 - 1, 1 + 3, -2) = (1, 4, -2) aos vetores da base T(1, 2) = (2(1) + 2, 1 - 3(2), 2(2)) = (2 + 2, 1 - 6, 4) = (4, -5, 4) :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, precisamos expressar os vetores resultantes w1 = (0,1,1), w2 = (0,1,-1), w3 = (1,0,0) e T(v1) = aw1 + bw2 + cw3 na base T(v2) = a'w1 + b'w2 + c'w3 , onde:
Isso significa que precisamos encontrar escalares tais que:

Passo 5

Vamos montar as equações para encontrar os coeficientes (1, 4, -2) = a(0,1,1) + b(0,1,-1) + c(1,0,0) para 0a + 0b + 1c = 1 1a + 1b + 0c = 4 1a - 1b + 0c = -2 :
Isso resulta no sistema:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: 2a = 2 Rightarrow a = 1
  2. Da segunda equação: 1 + b = 4 Rightarrow b = 3
  3. Da terceira equação: T(v1) = 1w1 + 3w2 + 1w3
Somando as equações 2 e 3:
Substituindo na equação 2:
Então, , , . Portanto:

Passo 7

Fazendo o mesmo para (4, -5, 4) = a'w1 + b'w2 + c'w3 :
(4, -5, 4) = a'(0,1,1) + b'(0,1,-1) + c'(1,0,0)
0a' + 0b' + 1c' = 4 1a' + 1b' + 0c' = -5 1a' - 1b' + 0c' = 4
Sistema:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: 2a' = -1 Rightarrow a' = -12
  2. Da segunda equação: -12 + b' = -5 Rightarrow b' = -92
  3. Da terceira equação: T(v2) = -12w1 - 92w2 + 4w3
Somando as equações 2 e 3:
Substituindo na equação 2:
Então, , , . Portanto:

Passo 9

Agora, podemos construir a matriz [T]beta^beta = 1 & -12 3 & -92 1 & 4 colocando os coeficientes obtidos como colunas:

Passo 10

Em seguida, vamos encontrar a matriz , onde é a base canônica de . A base canônica é . Para encontrar , precisamos aplicar aos vetores da base canônica e expressar os resultados na base .

Passo 11

Aplicando T(1, 0) = (2(1) + 0, 1 - 3(0), 2(0)) = (2, 1, 0) aos vetores da base canônica:
  • Para T(0, 1) = (2(0) + 1, 0 - 3(1), 2(1)) = (1, -3, 2) :
  • Para :

Passo 12

Agora, vamos expressar (2, 1, 0) = aw1 + bw2 + cw3 e (2, 1, 0) = a(0,1,1) + b(0,1,-1) + c(1,0,0) na base 0a + 0b + 1c = 2 1a + 1b + 0c = 1 1a - 1b + 0c = 0 :
Para a + a = 1 Rightarrow 2a = 1 Rightarrow a = 12, b = 12 :
T(e1) = 12w1 + 12w2 + 2w3
Sistema:
Resolvendo:
Substituindo na equação 2:
Então:

Passo 13

Para (1, -3, 2) = a'w1 + b'w2 + c'w3 :
(1, -3, 2) = a'(0,1,1) + b'(0,1,-1) + c'(1,0,0)
0a' + 0b' + 1c' = 1 1a' + 1b' + 0c' = -3 1a' - 1b' + 0c' = 2
Sistema:
2a' = -1 Rightarrow a' = -12
Resolvendo:
  1. -12 + b' = -3 Rightarrow b' = -52
  2. T(e2) = -12w1 - 52w2 + 1w3
Somando as equações 2 e 3:
Substituindo na equação 2:
Então:

Passo 14

Agora, construímos a matriz [T]alpha^beta = 12 & -12 12 & -52 2 & 1 com os coeficientes encontrados:

Resposta

A matriz da transformação linear [T]beta^beta = 1 & -12 3 & -92 1 & 4 nas bases [T]alpha^beta = 12 & -12 12 & -52 2 & 1 e é:
E a matriz de na base canônica e na base é:

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