Seja a transformação linear definida por , e as bases: e . Determinar . Qual a matriz , em que é a base canônica? Detalhar o desenvolvimento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares e mudanças de base. Precisamos encontrar duas matrizes específicas para a transformação definida por . As bases envolvidas são no domínio e no contradomínio. Vamos precisar usar conceitos de matrizes de transformação e mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz da transformação . Essa matriz representa como age nos vetores da base e expressa os resultados também na base . Para isso, precisamos aplicar a cada vetor da base e depois expressar os resultados na base .
Passo 3
Vamos aplicar a transformação aos vetores da base :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, precisamos expressar os vetores resultantes e na base , onde:
Isso significa que precisamos encontrar escalares tais que:
Passo 5
Vamos montar as equações para encontrar os coeficientes para :
Isso resulta no sistema:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: 2a = 2 Rightarrow a = 1
Da segunda equação: 1 + b = 4 Rightarrow b = 3
Da terceira equação: T(v1) = 1w1 + 3w2 + 1w3
Somando as equações 2 e 3:
Substituindo na equação 2:
Então, , , . Portanto:
Passo 7
Fazendo o mesmo para (4, -5, 4) = a'w1 + b'w2 + c'w3 :
Da segunda equação: -12 + b' = -5 Rightarrow b' = -92
Da terceira equação: T(v2) = -12w1 - 92w2 + 4w3
Somando as equações 2 e 3:
Substituindo na equação 2:
Então, , , . Portanto:
Passo 9
Agora, podemos construir a matriz [T]beta^beta = 1 & -12 3 & -92 1 & 4 colocando os coeficientes obtidos como colunas:
Passo 10
Em seguida, vamos encontrar a matriz , onde é a base canônica de . A base canônica é . Para encontrar , precisamos aplicar aos vetores da base canônica e expressar os resultados na base .
Passo 11
Aplicando T(1, 0) = (2(1) + 0, 1 - 3(0), 2(0)) = (2, 1, 0) aos vetores da base canônica: