Quais das transformações abaixo são lineares?
(j) T: M2 times 2(R) longrightarrow R^2, T(A)=(A11-A12, A11+ A12 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma transformação específica é linear. Estamos lidando com matrizes 2x2 com números reais e transformando essas matrizes em vetores no espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e aplicar essas ideias na transformação dada.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? É uma função que respeita duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer matrizes e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer matriz e número real .
Se a transformação cumprir essas duas propriedades, ela é linear.

Passo 3

Vamos aplicar essas propriedades na transformação dada:
T(A) = ( A11 - A12, A11 + A12 )
Verificando a adição:
Vamos pegar duas matrizes T(A + B) = T(A) + T(B) e T(A + B) = ( (A + B)11 - (A + B)12, (A + B)11 + (A + B)12 ) = ( A11 + B11 - A12 - B12, A11 + B11 + A12 + B12 ) e ver se:
T(A) + T(B) = ( A11 - A12, A11 + A12 ) + ( B11 - B12, B11 + B12 ) = ( A11 + B11 - A12 - B12, A11 + A12 + B11 + B12 )
Calculando T(cA) = cT(A) :
T(cA) = ( cA11 - cA12, cA11 + cA12 ) = c ( A11 - A12, A11 + A12 ) = cT(A)
Calculando :
Vemos que , então a propriedade de adição está satisfeita.
Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz e um número real e ver se:
Calculando :
Vemos que , então a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Sim, a transformação é linear.

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