Quais das transformações abaixo são lineares?
(j)
).
(j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma transformação específica é linear. Estamos lidando com matrizes 2x2 com números reais e transformando essas matrizes em vetores no espaço
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e aplicar essas ideias na transformação dada.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? É uma função que respeita duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer matrizes e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer matriz e número real .
Se a transformação cumprir essas duas propriedades, ela é linear.
Passo 3
Vamos aplicar essas propriedades na transformação dada:
Verificando a adição:
Vamos pegar duas matrizes e
e ver se:
Vamos pegar duas matrizes
Calculando
:
Calculando
:
Vemos que
, então a propriedade de adição está satisfeita.
Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz e um número real
e ver se:
Vamos pegar uma matriz
Calculando
:
Vemos que
, então a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Sim, a transformação
é linear.