Quais das transformações abaixo são lineares?
(k) T: M2 times 2(R) longrightarrow R^3, T(A)=(A11-A12, A21+ A22, 2 A11-A21)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente descobrir se a transformação é linear. A matéria aqui envolve transformações lineares e algebra de matrizes. Para resolver, vamos precisar saber o que define uma transformação linear e como aplicar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Isso significa que a transformação preserva a estrutura vetorial, ou seja, ela “respeita” a soma de vetores e a multiplicação por escalar.

Passo 3

Agora, vamos analisar a transformação dada:
T: M2 times 2(R) longrightarrow R^3, T(A) = (A11 - A12,, A21 + A22,, 2 A11 - A21)
Aqui, é uma matriz com elementos reais. Nossa missão é verificar se satisfaz as duas propriedades de linearidade.

Passo 4

Verificando a Adição:
Vamos pegar duas matrizes T(A + B) = ( (A+B)11 - (A+B)12,, (A+B)21 + (A+B)22,, 2(A+B)11 - (A+B)21 ) e = ( A11 + B11 - A12 - B12,, A21 + B21 + A22 + B22,, 2(A11 + B11) - (A21 + B21) ) em = ( (A11 - A12) + (B11 - B12),, (A21 + A22) + (B21 + B22),, (2 A11 - A21) + (2 B11 - B21) ) .
= T(A) + T(B)
Simplificando os elementos:
Então, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 5

Verificando a Homogeneidade:
Vamos multiplicar uma matriz T(c cdot A) = ( c A11 - c A12,, c A21 + c A22,, 2 c A11 - c A21 ) por um escalar = c ( A11 - A12,, A21 + A22,, 2 A11 - A21 ) .
= c cdot T(A)
Então, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como a transformação satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, ela é linear.

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