Quais das transformações abaixo são lineares?
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente descobrir se a transformação
é linear. A matéria aqui envolve transformações lineares e algebra de matrizes. Para resolver, vamos precisar saber o que define uma transformação linear e como aplicar isso na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
- Adição:
- Homogeneidade:
Isso significa que a transformação preserva a estrutura vetorial, ou seja, ela “respeita” a soma de vetores e a multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, vamos analisar a transformação dada:
Aqui,
é uma matriz
com elementos reais. Nossa missão é verificar se
satisfaz as duas propriedades de linearidade.
Passo 4
Verificando a Adição:
Vamos pegar duas matrizes
e
em
.
Simplificando os elementos:
Então, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 5
Verificando a Homogeneidade:
Vamos multiplicar uma matriz
por um escalar
.
Então, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como a transformação
satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, ela é linear.