Sabendo que o ângulo entre os vetores é de 60^circ, determinar o ângulo formado entre os vetores 2 u e 3 v

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores, e , que formam um ângulo de entre eles. A tarefa é descobrir qual é o ângulo entre os vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e magnitude de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta) e é dado por:
onde e são as magnitudes dos vetores e é o ângulo entre eles.

Passo 3

Sabendo que o ângulo entre u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(60^circ) e u cdot v = 12 |u| cdot |v| é , podemos calcular o produto escalar :
Como , fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre 2u cdot 3v = 6 (u cdot v) = 6 ( 12 |u| cdot |v| ) = 3 |u| cdot |v| e :

Passo 5

Para encontrar o ângulo 2u cdot 3v = |2u| cdot |3v| cdot cos(phi) entre 3 |u| cdot |v| = 6 |u| cdot |v| cdot cos(phi) e , usamos de novo a fórmula do produto escalar:
Sabendo que e , temos:

Passo 6

Resolvendo para cos(phi) = 3 |u| cdot |v|6 |u| cdot |v| = 12 :
Então,

Resposta

O ângulo entre os vetores e é de .

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