Sabendo que as retas e são ortogonais, determine o valor de .
25. Calcule o valor de para que sejam concorrentes as retas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica no espaço. A questão pede para encontrar o valor de de forma que as retas e sejam ortogonais. Ou seja, elas se cruzam formando um ângulo de 90 graus. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas e como determinar a ortogonalidade entre elas usando vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das retas e .
Para :
Podemos reescrever isso em termos de parâmetro (que pode ser o próprio ):
Assim, o vetor diretor de é .
Para :
Aqui, podemos usar um parâmetro :
Então, o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, vamos lembrar que para duas retas serem ortogonais, o produto escalar dos seus vetores diretores deve ser igual a zero. Ou seja:
Vamos calcular esse produto:

Passo 4

Para que as retas sejam ortogonais, devemos ter:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que torna as retas e ortogonais é .

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