Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determine o valor de m.
25. Calcule o valor de m para que sejam concorrentes as retas:
r1:l y=2 x-5 z=-x+2 e r2: x-5=ym=z+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica no espaço. A questão pede para encontrar o valor de de forma que as retas e sejam ortogonais. Ou seja, elas se cruzam formando um ângulo de 90 graus. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas e como determinar a ortogonalidade entre elas usando vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das retas y = 2x - 5 z = -x + 2 e x = t y = 2t - 5 z = -t + 2 .
Para x - 5 = ym = z + 1 :
x = 5 + s y = m s z = -1 + s
Podemos reescrever isso em termos de parâmetro (que pode ser o próprio ):
Assim, o vetor diretor de é .
Para :
Aqui, podemos usar um parâmetro :
Então, o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, vamos lembrar que para duas retas serem ortogonais, o produto escalar dos seus vetores diretores deve ser igual a zero. Ou seja:
v1 cdot v2 = 0
Vamos calcular esse produto:
v1 cdot v2 = (1)(1) + (2)(m) + (-1)(1) = 1 + 2m - 1 = 2m

Passo 4

Para que as retas sejam ortogonais, devemos ter:
2m = 0
Resolvendo para m = 0 :

Resposta

O valor de que torna as retas e ortogonais é .

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