Seja uma matriz inversível de . Mostre que dada por é um operador linear desse espaço.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema de álgebra linear. O enunciado diz que temos uma matriz inversível de ordem com entradas reais. Queremos mostrar que a função , que pega uma matriz e retorna , é um operador linear no espaço das matrizes . Para isso, vamos precisar entender o que é um operador linear e verificar se satisfaz as propriedades de linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma função é linear se, para quaisquer matrizes e em e para qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
Adição:
Multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função .
Passo 3
Verificando a adição:
Queremos mostrar que .
Começamos calculando :
Agora, usando a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes:
Isso significa que:
Então, a propriedade de adição está satisfeita.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Queremos mostrar que para qualquer escalar .
Calculamos :
Como a multiplicação por escalar é compatível com a multiplicação de matrizes, podemos tirar o escalar de fora:
Isso significa que:
Portanto, a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Como a função satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar, ela é de fato um operador linear no espaço .