Seja P uma matriz inversível de Mn times n(R). Mostre que F: Mn times n(R) Mn times n(R) dada por F(X)=P^-1 X P é um operador linear desse espaço.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema de álgebra linear. O enunciado diz que temos uma matriz inversível de ordem com entradas reais. Queremos mostrar que a função , que pega uma matriz e retorna , é um operador linear no espaço das matrizes . Para isso, vamos precisar entender o que é um operador linear e verificar se satisfaz as propriedades de linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma função é linear se, para quaisquer matrizes e em e para qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a adição:
Queremos mostrar que F(X + Y) = P^-1 (X + Y) P .
Começamos calculando P^-1 (X + Y) P = P^-1 X P + P^-1 Y P :
F(X + Y) = F(X) + F(Y)
Agora, usando a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes:
Isso significa que:
Então, a propriedade de adição está satisfeita.

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Queremos mostrar que F(cX) = P^-1 (cX) P para qualquer escalar P^-1 (cX) P = c (P^-1 X P) .
Calculamos F(cX) = c F(X) :
Como a multiplicação por escalar é compatível com a multiplicação de matrizes, podemos tirar o escalar de fora:
Isso significa que:
Portanto, a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar, ela é de fato um operador linear no espaço .

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