Seja
uma matriz inversível de
. Mostre que
dada por
é um operador linear desse espaço.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema de álgebra linear. O enunciado diz que temos uma matriz inversível
de ordem
com entradas reais. Queremos mostrar que a função
, que pega uma matriz
e retorna
, é um operador linear no espaço das matrizes
. Para isso, vamos precisar entender o que é um operador linear e verificar se
satisfaz as propriedades de linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma função
é linear se, para quaisquer matrizes
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes duas condições são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a adição:
Queremos mostrar que
.
Começamos calculando
:
Agora, usando a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes:
Isso significa que:
Então, a propriedade de adição está satisfeita.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Queremos mostrar que
para qualquer escalar
.
Calculamos
:
Como a multiplicação por escalar é compatível com a multiplicação de matrizes, podemos tirar o escalar
de fora:
Isso significa que:
Portanto, a propriedade de multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar, ela é de fato um operador linear no espaço
.