Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(i) Se for possível efetuar o produto , então é uma matriz quadrada.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pergunta se a afirmação “Se dá para multiplicar a matriz por ela mesma, ou seja, calcular , então precisa ser uma matriz quadrada” é verdadeira ou falsa. Vamos trabalhar com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre multiplicação de matrizes e matrizes quadradas.
Para resolver isso, precisamos entender como funciona a multiplicação de matrizes e quando ela é possível. Vamos seguir em frente passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Se temos duas matrizes e , onde tem dimensões (n linhas e m colunas) e tem dimensões , a multiplicação só é possível se o número de colunas de for igual ao número de linhas de , ou seja, . O resultado será uma matriz de dimensões .
Passo 3
No nosso caso, queremos multiplicar a matriz por ela mesma, ou seja, . Vamos supor que tem dimensões . Para que seja possível, o número de colunas de deve ser igual ao número de linhas de . Ou seja:
Isso significa que a matriz deve ter o mesmo número de linhas e colunas.
Passo 4
Uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas é chamada de matriz quadrada. Portanto, se conseguimos multiplicar , deduzimos que , o que implica que é uma matriz quadrada.
Resposta
Verdadeiro. Se é possível efetuar o produto , então é uma matriz quadrada.