Sejam
Determine a ordem de cada uma das matrizes e quais somas e produtos podem ser efetuados entre duas matrizes distintas das que foram dadas acima. Nos casos em que tais operações forem possíveis, determine os seus resultados. Calcule a transposta de cada matriz acima.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo e quais conceitos de matrizes vamos precisar usar.
Temos quatro matrizes:
A questão pede para:
- Determinar a ordem de cada matriz.
- Verificar quais somas e produtos são possíveis entre duas matrizes diferentes das dadas e calcular esses resultados quando possível.
- Calcular a transposta de cada uma das matrizes.
Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar a ordem das matrizes, como somar e multiplicar matrizes, e como encontrar a transposta de uma matriz.
Passo 2
Vamos começar descobrindo a ordem (dimensões) de cada matriz. A ordem de uma matriz é expressa pelo número de linhas vezes o número de colunas.
- Matriz A: Tem 2 linhas e 3 colunas, então sua ordem é 2 × 3.
- Matriz B: Também tem 2 linhas e 3 colunas, então sua ordem é 2 × 3.
- Matriz C: Tem 3 linhas e 1 coluna, então sua ordem é 3 × 1.
- Matriz D: Tem 1 linha e 2 colunas, então sua ordem é 1 × 2.
Passo 3
Agora, vamos ver quais somas de matrizes são possíveis. Para somar duas matrizes, elas precisam ter a mesma ordem.
- A + B: Ambos são 2 × 3, então podemos somá-las.
- A + C: A é 2 × 3 e C é 3 × 1. Ordem diferente, não dá para somar.
- A + D: A é 2 × 3 e D é 1 × 2. Ordem diferente, não dá.
- B + C: B é 2 × 3 e C é 3 × 1. Ordem diferente, não dá.
- B + D: B é 2 × 3 e D é 1 × 2. Ordem diferente, não dá.
- C + D: C é 3 × 1 e D é 1 × 2. Ordem diferente, não dá.
Então, a única soma possível é A + B.
Passo 4
Vamos calcular A + B:
Passo 5
Agora, vamos verificar quais produtos de matrizes são possíveis. Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. O resultado terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
Vamos analisar as possíveis multiplicações:
- A × B: A é 2 × 3 e B é 2 × 3. Colunas de A (3) ≠ linhas de B (2). Não dá.
- A × C: A é 2 × 3 e C é 3 × 1. Colunas de A (3) = linhas de C (3). Dá para multiplicar, resultado será 2 × 1.
- A × D: A é 2 × 3 e D é 1 × 2. Colunas de A (3) ≠ linhas de D (1). Não dá.
- B × A: B é 2 × 3 e A é 2 × 3. Colunas de B (3) ≠ linhas de A (2). Não dá.
- B × C: B é 2 × 3 e C é 3 × 1. Colunas de B (3) = linhas de C (3). Dá para multiplicar, resultado será 2 × 1.
- B × D: B é 2 × 3 e D é 1 × 2. Colunas de B (3) ≠ linhas de D (1). Não dá.
- C × A: C é 3 × 1 e A é 2 × 3. Colunas de C (1) ≠ linhas de A (2). Não dá.
- C × B: C é 3 × 1 e B é 2 × 3. Colunas de C (1) ≠ linhas de B (2). Não dá.
- C × D: C é 3 × 1 e D é 1 × 2. Colunas de C (1) = linhas de D (1). Dá para multiplicar, resultado será 3 × 2.
- D × A: D é 1 × 2 e A é 2 × 3. Colunas de D (2) = linhas de A (2). Dá para multiplicar, resultado será 1 × 3.
- D × B: D é 1 × 2 e B é 2 × 3. Colunas de D (2) = linhas de B (2). Dá para multiplicar, resultado será 1 × 3.
- D × C: D é 1 × 2 e C é 3 × 1. Colunas de D (2) ≠ linhas de C (3). Não dá.
Então, as multiplicações possíveis são:
- A × C
- B × C
- C × D
- D × A
- D × B
Passo 6
Vamos calcular cada uma dessas multiplicações:
- A × C
- B × C
- C × D
- D × A
- D × B
Passo 7
Por último, vamos calcular a transposta de cada matriz. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
- Transposta de A (Aᵗ)
- Transposta de B (Bᵗ)
- Transposta de C (Cᵗ)
- Transposta de D (Dᵗ)
Resposta
Ordens das Matrizes:
-
: 2 × 3A + B = -1 & 2 & 4 5 & -1 & 2 -
: 2 × 3A × C = 15 0 -
: 3 × 1B × C = 6 1 -
: 1 × 2C × D = -2 & 1 4 & -2 8 & -4
Somas e Produtos Possíveis:
- A + B:
- A × C:
- B × C:
- C × D:
- D × A:
- D × B:
Transpostas das Matrizes:
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