Sejam
A=[ccc 1 & 2 & 3 2 & -1 & 1 ], B=[ccc -2 & 0 & 1 3 & 0 & 1 ], C=[c -1 2 4 ] e D=[ll 2 & -1 ]
Determine a ordem de cada uma das matrizes e quais somas e produtos podem ser efetuados entre duas matrizes distintas das que foram dadas acima. Nos casos em que tais operações forem possíveis, determine os seus resultados. Calcule a transposta de cada matriz acima.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo e quais conceitos de matrizes vamos precisar usar.
Temos quatro matrizes:
A = 1 & 2 & 3 2 & -1 & 1 , B = -2 & 0 & 1 3 & 0 & 1 , C = -1 2 4 , D = 2 & -1
A questão pede para:
  1. Determinar a ordem de cada matriz.
  2. Verificar quais somas e produtos são possíveis entre duas matrizes diferentes das dadas e calcular esses resultados quando possível.
  3. Calcular a transposta de cada uma das matrizes.
Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar a ordem das matrizes, como somar e multiplicar matrizes, e como encontrar a transposta de uma matriz.

Passo 2

Vamos começar descobrindo a ordem (dimensões) de cada matriz. A ordem de uma matriz é expressa pelo número de linhas vezes o número de colunas.
  • Matriz A: Tem 2 linhas e 3 colunas, então sua ordem é 2 × 3.
  • Matriz B: Também tem 2 linhas e 3 colunas, então sua ordem é 2 × 3.
  • Matriz C: Tem 3 linhas e 1 coluna, então sua ordem é 3 × 1.
  • Matriz D: Tem 1 linha e 2 colunas, então sua ordem é 1 × 2.

Passo 3

Agora, vamos ver quais somas de matrizes são possíveis. Para somar duas matrizes, elas precisam ter a mesma ordem.
  • A + B: Ambos são 2 × 3, então podemos somá-las.
  • A + C: A é 2 × 3 e C é 3 × 1. Ordem diferente, não dá para somar.
  • A + D: A é 2 × 3 e D é 1 × 2. Ordem diferente, não dá.
  • B + C: B é 2 × 3 e C é 3 × 1. Ordem diferente, não dá.
  • B + D: B é 2 × 3 e D é 1 × 2. Ordem diferente, não dá.
  • C + D: C é 3 × 1 e D é 1 × 2. Ordem diferente, não dá.
Então, a única soma possível é A + B.

Passo 4

Vamos calcular A + B:
A + B = 1 & 2 & 3 2 & -1 & 1 + -2 & 0 & 1 3 & 0 & 1 = 1 + (-2) & 2 + 0 & 3 + 1 2 + 3 & -1 + 0 & 1 + 1 = -1 & 2 & 4 5 & -1 & 2

Passo 5

Agora, vamos verificar quais produtos de matrizes são possíveis. Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. O resultado terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
Vamos analisar as possíveis multiplicações:
  • A × B: A é 2 × 3 e B é 2 × 3. Colunas de A (3) ≠ linhas de B (2). Não dá.
  • A × C: A é 2 × 3 e C é 3 × 1. Colunas de A (3) = linhas de C (3). Dá para multiplicar, resultado será 2 × 1.
  • A × D: A é 2 × 3 e D é 1 × 2. Colunas de A (3) ≠ linhas de D (1). Não dá.
  • B × A: B é 2 × 3 e A é 2 × 3. Colunas de B (3) ≠ linhas de A (2). Não dá.
  • B × C: B é 2 × 3 e C é 3 × 1. Colunas de B (3) = linhas de C (3). Dá para multiplicar, resultado será 2 × 1.
  • B × D: B é 2 × 3 e D é 1 × 2. Colunas de B (3) ≠ linhas de D (1). Não dá.
  • C × A: C é 3 × 1 e A é 2 × 3. Colunas de C (1) ≠ linhas de A (2). Não dá.
  • C × B: C é 3 × 1 e B é 2 × 3. Colunas de C (1) ≠ linhas de B (2). Não dá.
  • C × D: C é 3 × 1 e D é 1 × 2. Colunas de C (1) = linhas de D (1). Dá para multiplicar, resultado será 3 × 2.
  • D × A: D é 1 × 2 e A é 2 × 3. Colunas de D (2) = linhas de A (2). Dá para multiplicar, resultado será 1 × 3.
  • D × B: D é 1 × 2 e B é 2 × 3. Colunas de D (2) = linhas de B (2). Dá para multiplicar, resultado será 1 × 3.
  • D × C: D é 1 × 2 e C é 3 × 1. Colunas de D (2) ≠ linhas de C (3). Não dá.
Então, as multiplicações possíveis são:
  • A × C
  • B × C
  • C × D
  • D × A
  • D × B

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas multiplicações:
  1. A × C
A × C = 1 & 2 & 3 2 & -1 & 1 × -1 2 4 = (1)(-1) + (2)(2) + (3)(4) (2)(-1) + (-1)(2) + (1)(4) = -1 + 4 + 12 -2 - 2 + 4 = 15 0
  1. B × C
B × C = -2 & 0 & 1 3 & 0 & 1 × -1 2 4 = (-2)(-1) + (0)(2) + (1)(4) (3)(-1) + (0)(2) + (1)(4) = 2 + 0 + 4 -3 + 0 + 4 = 6 1
  1. C × D
C × D = -1 2 4 × 2 & -1 = (-1)(2) & (-1)(-1) (2)(2) & (2)(-1) (4)(2) & (4)(-1) = -2 & 1 4 & -2 8 & -4
  1. D × A
D × A = 2 & -1 × 1 & 2 & 3 2 & -1 & 1 = (2)(1) + (-1)(2) & (2)(2) + (-1)(-1) & (2)(3) + (-1)(1) = 2 - 2 & 4 + 1 & 6 - 1 = 0 & 5 & 5
  1. D × B
D × B = 2 & -1 × -2 & 0 & 1 3 & 0 & 1 = (2)(-2) + (-1)(3) & (2)(0) + (-1)(0) & (2)(1) + (-1)(1) = -4 - 3 & 0 + 0 & 2 - 1 = -7 & 0 & 1

Passo 7

Por último, vamos calcular a transposta de cada matriz. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
  1. Transposta de A (Aᵗ)
A^top = 1 & 2 2 & -1 3 & 1
  1. Transposta de B (Bᵗ)
B^top = -2 & 3 0 & 0 1 & 1
  1. Transposta de C (Cᵗ)
C^top = -1 & 2 & 4
  1. Transposta de D (Dᵗ)
D^top = 2 -1

Resposta

Ordens das Matrizes:
  • A + B = -1 & 2 & 4 5 & -1 & 2 : 2 × 3
  • A × C = 15 0 : 2 × 3
  • B × C = 6 1 : 3 × 1
  • C × D = -2 & 1 4 & -2 8 & -4 : 1 × 2
Somas e Produtos Possíveis:
  • A + B:
D × A = 0 & 5 & 5
  • A × C:
D × B = -7 & 0 & 1
  • B × C:
1 & 2 2 & -1 3 & 1
  • C × D:
-2 & 3 0 & 0 1 & 1
  • D × A:
-1 & 2 & 4
  • D × B:
2 -1
Transpostas das Matrizes:
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