Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
c)
se
c)
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para verificarmos se o conjunto
é um subespaço vetorial de
, que é o espaço de todas as matrizes
com entradas reais. Aqui,
é definido como o conjunto de matrizes diagonais, ou seja, aquelas onde todos os elementos
são zero quando
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições para que um conjunto seja considerado um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em
. - Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes quaisquer em
, a soma delas também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos qualquer matriz em
por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
das matrizes diagonais.
Passo 3
1. Contém o vetor zero: A matriz zero é uma matriz onde todos os elementos são zero. Como, para uma matriz diagonal, todos os elementos fora da diagonal já são zero, a matriz zero certamente está em
.
2. Fechado sob adição: Vamos pegar duas matrizes quaisquer
e
em
. Isso significa que
e
são diagonais, ou seja,
e
para
. Quando somamos
, os elementos fora da diagonal também serão zero, já que
. Portanto,
também é uma matriz diagonal e pertence a
.
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Vamos pegar uma matriz
em
e um escalar
. Multiplicando
por
, teremos
, onde todos os elementos fora da diagonal permanecem zero, pois
. Logo,
também é uma matriz diagonal e está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Seja
e
;
e $\left.\alpha \in \mathbb{R}\right$. Dados
e
definamos:
a) Mostre que
é um espaço vetorial sobre
.
b) Mostre que .
b) Mostre que
Seja
o operador linear definido na base canônica por
e
. Determine
.
Seja
e
um subsespaço de
. Determine a dimensão de
.
Sabendo que o ângulo entre os vetores
e
é de 60 graus, determine o ângulo formado pelos vetores
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