Sabendo que a área delimitada pela função I(t) = 4t - t^2 no intervalo de t = 0 a t = 3 representa a carga acumulada em um circuito, determine a quantidade de carga total acumulada. Esboce o gráfico.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a corrente elétrica em um circuito ao longo do tempo. O problema nos pede para encontrar a quantidade total de carga acumulada nesse circuito no intervalo de tempo de a . Para resolver isso, vamos precisar calcular a área sob a curva da função nesse intervalo, que corresponde à carga total acumulada. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função para visualizar melhor a situação.

Passo 2

A carga total acumulada pode ser encontrada integrando a função da corrente em relação ao tempo no intervalo especificado. A integração de uma função de corrente em relação ao tempo nos dá a carga, de acordo com a relação:
onde e são os limites de integração, neste caso, 0 e 3.

Passo 3

Substituindo a função e os limites de integração na fórmula, temos:
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos integrar a função em relação a :
Em seguida, integramos :
Portanto, a integral completa é:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração. Primeiro, substituímos :
Em seguida, substituímos :
Subtraindo os valores:

Passo 6

Portanto, a carga total acumulada no circuito no intervalo de a é de 9 unidades de carga (dependendo da unidade utilizada, por exemplo, coulombs).
Além disso, vamos esboçar o gráfico da função . A parábola abre para baixo, com vértice no ponto onde a derivada de é zero. O gráfico começa no ponto , atinge um pico e volta a zero em . No intervalo de a , a área sob a curva representa a carga acumulada de 9 unidades.

Resposta

A quantidade total de carga acumulada é 9 unidades de carga.

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