Sabendo que a energia dissipada em um resistor é proporcional à área sob a curva de potência P(t) = 10 t e^(-t), determine a energia dissipada no intervalo de t = 0 a t = 5. Esboce o gráfico da função.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre energia dissipada em um resistor. A energia dissipada é proporcional à área sob a curva da potência, que está definida por . O objetivo aqui é calcular a energia dissipada no intervalo de até . Para resolver isso, vamos precisar usar integração, que é uma ferramenta matemática que ajuda a encontrar essa “área” de forma precisa. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função para visualizar melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a energia dissipada ( ) em um resistor ao longo do tempo é dada pela integral da potência em relação ao tempo . Matematicamente, isso é representado por:
Aqui, , então substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. A função é um produto de e , então vamos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
  • que implica
  • que implica

Passo 4

Aplicando a fórmula:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos aplicar os limites de 0 a 5.

Passo 5

Portanto, substituindo na expressão da energia:
Vamos calcular para e :
Para :
Para :

Passo 6

Subtraindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor numérico. Sabemos que , então:
Arredondando, podemos dizer que unidades de energia (depende das unidades usadas no problema, que não foram especificadas).

Resposta

A energia dissipada no intervalo de a é aproximadamente unidades de energia.

Gráfico

O gráfico da função começa em zero, aumenta até um certo ponto e depois decresce exponencialmente, aproximando-se de zero à medida que aumenta. A área sob essa curva entre e representa a energia dissipada.

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