Sabendo que a energia dissipada em um resistor é proporcional à área sob a curva de potência
, determine a energia dissipada no intervalo de
a
. Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre energia dissipada em um resistor. A energia dissipada é proporcional à área sob a curva da potência, que está definida por
. O objetivo aqui é calcular a energia dissipada no intervalo de
até
. Para resolver isso, vamos precisar usar integração, que é uma ferramenta matemática que ajuda a encontrar essa “área” de forma precisa. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função para visualizar melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a energia dissipada (
) em um resistor ao longo do tempo é dada pela integral da potência
em relação ao tempo
. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui,
, então substituindo na integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. A função
é um produto de
e
, então vamos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
-
que implica -
que implica
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos aplicar os limites de 0 a 5.
Passo 5
Portanto, substituindo na expressão da energia:
Vamos calcular para
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Subtraindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor numérico. Sabemos que
, então:
Arredondando, podemos dizer que
unidades de energia (depende das unidades usadas no problema, que não foram especificadas).
Resposta
A energia dissipada no intervalo de
a
é aproximadamente
unidades de energia.
Gráfico
O gráfico da função
começa em zero, aumenta até um certo ponto e depois decresce exponencialmente, aproximando-se de zero à medida que
aumenta. A área sob essa curva entre
e
representa a energia dissipada.
Exercícios relacionados
(a)
Sabendo que a área delimitada pela função
no intervalo de
a
representa a carga acumulada em um circuito, determine a quantidade de carga total acumulada. Esboce o gráfico.
Calcule :
Calcule :