Sabendo que um autovalor da matriz A do exercício 11 é igual a 9 , mostre como obter o autovetor correspondente usando decomposição QR.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um autovalor da matriz
igual a 9 e precisa encontrar o autovetor correspondente usando a decomposição QR. Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, além de como a decomposição QR pode nos ajudar a resolver esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada
, um vetor não nulo
é chamado de autovetor se, quando multiplicamos
por
, o resultado é um múltiplo de
. Esse múltiplo é o autovalor
. Matematicamente, isso é representado por:
No seu caso, sabemos que
.
Passo 3
Com essa equação, podemos rearranjar para:
onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
. Isso forma um sistema de equações homogêneas que precisamos resolver para encontrar o autovetor
.
Passo 4
Para resolver
usando a decomposição QR, seguimos estes passos:
- Construir a Matriz
: Subtraia 9 da diagonal principal de . - Decompor
em : Aqui, é uma matriz ortogonal e é uma matriz triangular superior. - Resolver o Sistema
: Como , simplificamos para . - Encontrar a Solução
: Como é triangular, podemos usar substituição para encontrar .
Como o sistema é homogêneo, procuramos uma solução não trivial, o que implica que o sistema tem infinitas soluções que formam uma linha ou plano, dependendo do número de variáveis. Normalmente, escolhemos um parâmetro livre para expressar os componentes de
.
Passo 5
Após seguir os passos acima, você encontrará os componentes de
que satisfazem
. Normalizando esse vetor, obtemos o autovetor correspondente ao autovalor 9.
Resposta
O autovetor correspondente ao autovalor 9 da matriz
é o vetor
encontrado através da resolução do sistema
utilizando a decomposição QR, conforme descrito nos passos anteriores.
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