Sabendo que um autovalor da matriz A do exercício 11 é igual a 9 , mostre como obter o autovetor correspondente usando decomposição QR.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um autovalor da matriz igual a 9 e precisa encontrar o autovetor correspondente usando a decomposição QR. Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, além de como a decomposição QR pode nos ajudar a resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada , um vetor não nulo é chamado de autovetor se, quando multiplicamos por , o resultado é um múltiplo de . Esse múltiplo é o autovalor . Matematicamente, isso é representado por:
No seu caso, sabemos que .

Passo 3

Com essa equação, podemos rearranjar para:
onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Isso forma um sistema de equações homogêneas que precisamos resolver para encontrar o autovetor .

Passo 4

Para resolver usando a decomposição QR, seguimos estes passos:
  1. Construir a Matriz : Subtraia 9 da diagonal principal de .
  2. Decompor em : Aqui, é uma matriz ortogonal e é uma matriz triangular superior.
  3. Resolver o Sistema : Como , simplificamos para .
  4. Encontrar a Solução : Como é triangular, podemos usar substituição para encontrar .
Como o sistema é homogêneo, procuramos uma solução não trivial, o que implica que o sistema tem infinitas soluções que formam uma linha ou plano, dependendo do número de variáveis. Normalmente, escolhemos um parâmetro livre para expressar os componentes de .

Passo 5

Após seguir os passos acima, você encontrará os componentes de que satisfazem . Normalizando esse vetor, obtemos o autovetor correspondente ao autovalor 9.

Resposta

O autovetor correspondente ao autovalor 9 da matriz é o vetor encontrado através da resolução do sistema utilizando a decomposição QR, conforme descrito nos passos anteriores.

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