Sabendo que a diferencial é definida por d f(x) = f'(x) dx, calcular as diferenciais das equações dadas: 1/y = (x + 1)/e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as diferenciais da equação . Isso está dentro do assunto de cálculo diferencial, onde usamos a definição de diferencial para encontrar como pequenas mudanças em x afetam y. Para resolver, vamos precisar usar derivadas e algumas regras básicas de manipulação de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a diferencial de uma função f(x) é dada por . No nosso caso, temos uma equação envolvendo y e x, então queremos encontrar dy em termos de dx.

Passo 3

Vamos começar reescrevendo a equação para facilitar a diferenciação. A equação dada é:
Podemos multiplicar ambos os lados por y para isolar os termos:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembrando que y é uma função de x, aplicamos a regra do produto no lado direito:
Sabemos que a diferencial de uma constante é zero, então:

Passo 5

Vamos calcular a diferencial . Usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 6

Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Vamos isolar dy:

Resposta

A diferencial de y em função de x é:

Exercícios relacionados