Sabendo que , mostre as seguintes caracterizações em :
(a) ,
(b) ,
© .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar algumas características de certas classes de equivalência em . A matéria envolvida aqui é teoria das equivalências, que estuda como podemos agrupar elementos que são considerados “iguais” segundo uma certa regra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como identificar as classes de equivalência para os pares dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação em um conjunto é chamada de relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: Para todo , .
  2. Simétrica: Se , então .
  3. Transitiva: Se e , então .
Quando temos uma relação de equivalência, podemos dividir o conjunto em classes de equivalência, onde cada classe contém elementos que são equivalentes entre si.

Passo 3

No nosso caso, estamos trabalhando com pares de números naturais, ou seja, elementos de . A classe de equivalência é o conjunto de todos os pares que são equivalentes a segundo a relação . O exercício pede para caracterizar essas classes de equivalência para alguns pares específicos.

Passo 4

Vamos começar com a parte (a): mostrar que . Isso significa que todos os pares que são equivalentes a são exatamente os pares onde os dois números são iguais.
Para provar isso, precisamos mostrar duas coisas:
  1. Inclusão direta: Todo par está na classe .
  2. Inclusão inversa: Se um par está na classe , então .

Passo 5

1. Inclusão direta: Vamos assumir que está na classe . Pela definição de classe de equivalência, isso significa que . Dependendo da relação , precisamos que esta equivalência mantenha . Portanto, todos os pares onde os elementos são iguais pertencem a .
2. Inclusão inversa: Agora, suponha que . Isso implica que . Para que isso seja verdade, de acordo com a relação, devemos ter . Assim, qualquer par na classe deve ter os elementos iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Seja . Mostre que não existe número natural tal que .
Sejam .
(a) Mostre que .
(b) Prove que, .
© Prove que, .
Prove que o produto em ,
está bem definido.
Usando as definições de soma e produto em , prove as seguintes propriedades:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva: ;
(f) Valem as propriedades de cancelamento: