Sabendo que
, mostre as seguintes caracterizações em
:
(a)
,
(b)
,
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar algumas características de certas classes de equivalência em
. A matéria envolvida aqui é teoria das equivalências, que estuda como podemos agrupar elementos que são considerados “iguais” segundo uma certa regra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como identificar as classes de equivalência para os pares dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação
em um conjunto
é chamada de relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: Para todo
, . - Simétrica: Se
, então . - Transitiva: Se
e , então .
Quando temos uma relação de equivalência, podemos dividir o conjunto
em classes de equivalência, onde cada classe contém elementos que são equivalentes entre si.
Passo 3
No nosso caso, estamos trabalhando com pares de números naturais, ou seja, elementos de
. A classe de equivalência
é o conjunto de todos os pares
que são equivalentes a
segundo a relação
. O exercício pede para caracterizar essas classes de equivalência para alguns pares específicos.
Passo 4
Vamos começar com a parte (a): mostrar que
. Isso significa que todos os pares que são equivalentes a
são exatamente os pares onde os dois números são iguais.
Para provar isso, precisamos mostrar duas coisas:
- Inclusão direta: Todo par
está na classe . - Inclusão inversa: Se um par
está na classe , então .
Passo 5
1. Inclusão direta: Vamos assumir que
está na classe
. Pela definição de classe de equivalência, isso significa que
. Dependendo da relação
, precisamos que esta equivalência mantenha
. Portanto, todos os pares onde os elementos são iguais pertencem a
.
2. Inclusão inversa: Agora, suponha que
. Isso implica que
. Para que isso seja verdade, de acordo com a relação, devemos ter
. Assim, qualquer par na classe
deve ter os elementos iguais.
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Seja
. Mostre que não existe número natural
tal que
.
Sejam
.
(a) Mostre que .
(b) Prove que, .
© Prove que, .
(a) Mostre que
(b) Prove que,
© Prove que,
está bem definido.
Usando as definições de soma e produto em
, prove as seguintes propriedades:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva: ;
(f) Valem as propriedades de cancelamento:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva:
(f) Valem as propriedades de cancelamento: