Sabendo que [(n, m)] = {(k, l) em N x N : (k, l) ~ (n, m)}, mostre as seguintes caracterizações em Z :
(a) [(1,1)] = {(k, k) : k em N},
(b) [(1+n, 1)]= {(k+n, k): k em N}, n em N,
© [(1, 1+n)] = {(k, k+n): k pertence a N}, n pertence a N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar algumas características de certas classes de equivalência em Z. A matéria envolvida aqui é teoria das equivalências, que estuda como podemos agrupar elementos que são considerados “iguais” segundo uma certa regra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como identificar as classes de equivalência para os pares dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação ~ em um conjunto A é chamada de relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: Para todo a in A, .
  2. Simétrica: Se a ~ b, então .
  3. Transitiva: Se a ~ b e , então .
Quando temos uma relação de equivalência, podemos dividir o conjunto A em classes de equivalência, onde cada classe contém elementos que são equivalentes entre si.

Passo 3

No nosso caso, estamos trabalhando com pares de números naturais, ou seja, elementos de N x N. A classe de equivalência é o conjunto de todos os pares que são equivalentes a segundo a relação ~. O exercício pede para caracterizar essas classes de equivalência para alguns pares específicos.

Passo 4

Vamos começar com a parte (a): mostrar que . Isso significa que todos os pares que são equivalentes a 1,1 são exatamente os pares onde os dois números são iguais.
Para provar isso, precisamos mostrar duas coisas:
  1. Inclusão direta: Todo par está na classe .
  2. Inclusão inversa: Se um par está na classe , então .

Passo 5

1. Inclusão direta: Vamos assumir que está na classe . Pela definição de classe de equivalência, isso significa que . Dependendo da relação ~, precisamos que esta equivalência mantenha . Portanto, todos os pares onde os elementos são iguais pertencem a .
2. Inclusão inversa: Agora, suponha que . Isso implica que . Para que isso seja verdade, de acordo com a relação, devemos ter . Assim, qualquer par na classe deve ter os elementos iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que .

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