Sabendo que a energia de Livre de Gibbs é dada por
. Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para mostrar que:
Estamos trabalhando com a Energia Livre de Gibbs, que é um conceito da Termodinâmica. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo de derivadas parciais e algumas propriedades das funções termodinâmicas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Energia Livre de Gibbs:
Onde:
- $ \mathrm{G} $ é a Energia Livre de Gibbs,
- $ \mathrm{H} $ é a entalpia,
- $ \mathrm{T} $ é a temperatura,
- $ \mathrm{S} $ é a entropia.
Passo 3
Sabemos que a energia livre de Gibbs é uma função de estado que depende da temperatura $ \mathrm{T} $ e da pressão $ \mathrm{P} $, então podemos escrever:
Passo 4
Vamos usar as derivadas parciais das funções termodinâmicas. A derivada de $ \mathrm{G} $ em relação a $ \mathrm{T} $ mantendo $ \mathrm{P} $ constante nos dá a entropia:
E a derivada de $ \mathrm{G} $ em relação a $ \mathrm{P} $ mantendo $ \mathrm{T} $ constante nos dá o volume:
Passo 5
Agora, vamos montar o chamado “segunda derivada mista” de $ \mathrm{G} $. De acordo com a igualdade das derivadas cruzadas, temos:
Substituindo as expressões que encontramos:
Isso simplifica para:
Resposta
Portanto, mostramos que: