Sabendo que a energia de Livre de Gibbs é dada por G=H-TS. Mostre que:
(partial Vpartial T)P=-(partial Spartial P)T

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para mostrar que:
(partial Vpartial T)P = -(partial Spartial P)T
Estamos trabalhando com a Energia Livre de Gibbs, que é um conceito da Termodinâmica. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo de derivadas parciais e algumas propriedades das funções termodinâmicas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Energia Livre de Gibbs:
G = H - TS
Onde:
  • $ \mathrm{G} $ é a Energia Livre de Gibbs,
  • $ \mathrm{H} $ é a entalpia,
  • $ \mathrm{T} $ é a temperatura,
  • $ \mathrm{S} $ é a entropia.

Passo 3

Sabemos que a energia livre de Gibbs é uma função de estado que depende da temperatura $ \mathrm{T} $ e da pressão $ \mathrm{P} $, então podemos escrever:
T

Passo 4

Vamos usar as derivadas parciais das funções termodinâmicas. A derivada de $ \mathrm{G} $ em relação a $ \mathrm{T} $ mantendo $ \mathrm{P} $ constante nos dá a entropia:
G
E a derivada de $ \mathrm{G} $ em relação a $ \mathrm{P} $ mantendo $ \mathrm{T} $ constante nos dá o volume:
T

Passo 5

Agora, vamos montar o chamado “segunda derivada mista” de $ \mathrm{G} $. De acordo com a igualdade das derivadas cruzadas, temos:
G
Substituindo as expressões que encontramos:
partialpartial P (partial Gpartial T)P = partialpartial T (partial Gpartial P)T
Isso simplifica para:
partialpartial P (-S) = partialpartial T (V)

Resposta

Portanto, mostramos que:
(partial Vpartial T)P = -(partial Spartial P)T

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