Deduza a equação termodinâmica de estado (partial Hpartial P)T=v-T(partial Vpartial T)p deduza uma expressão de (partial Hpartial P)T para um gás perfeito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! A questão pede para deduzir a equação (partial Hpartial P)T=v-T(partial Vpartial T)P e, depois, encontrar uma expressão para (partial Hpartial P)T quando temos um gás perfeito. Para isso, vamos precisar conhecer algumas relações fundamentais da termodinâmica, como as derivadas parciais e as equações de estado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a entalpia H é definida como H = U + PV, onde U é a energia interna, P é a pressão e V é o volume. Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de H em relação a P a temperatura constante, ou seja, (partial Hpartial P)T.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de H em relação a P mantendo a temperatura constante:
(partial Hpartial P)T = (partial Upartial P)T + (partial (PV)partial P)T
Simplificando, temos:
(partial Hpartial P)T = (partial Upartial P)T + V + P(partial Vpartial P)T

Passo 4

Sabemos da termodinâmica que, a entalpia H é uma função de S (entropia) e P. A derivada parcial de U em relação a P pode ser relacionada usando a relação termodinâmica:
(partial Upartial P)T = T(partial Spartial P)T - P(partial Vpartial P)T
Substituindo isso na expressão anterior:
(partial Hpartial P)T = T(partial Spartial P)T - P(partial Vpartial P)T + V + P(partial Vpartial P)T
As duas últimas parcelas se cancelam, ficando:
(partial Hpartial P)T = T(partial Spartial P)T + V

Passo 5

Agora, vamos usar a relação de Maxwell que liga as derivadas parciais de entropia e volume:
(partial Spartial P)T = -(partial Vpartial T)P
Substituindo isso na nossa expressão:
(partial Hpartial P)T = T (-(partial Vpartial T)P) + V
Simplificando:
(partial Hpartial P)T = V - T(partial Vpartial T)P

Passo 6

Prontinho, deduzimos a equação geral:
(partial Hpartial P)T = V - T(partial Vpartial T)P
Agora, vamos aplicar isso para um gás perfeito. Sabemos que, para um gás perfeito, a equação de estado é PV = nRT, onde n é o número de mols e R é a constante dos gases.

Passo 7

Para um gás perfeito, o volume V em função da temperatura T e pressão P é:
V = nRTP
Vamos calcular a derivada de V em relação a T a pressão constante:
(partial Vpartial T)P = nRP

Passo 8

Substituindo V e (partial Vpartial T)P na nossa equação inicial:
(partial Hpartial P)T = nRTP - T (nRP)
Simplificando:
(partial Hpartial P)T = nRTP - nRTP = 0

Resposta

Para um gás perfeito, temos:
(partial Hpartial P)T = 0

Exercícios relacionados