Deduza a equação termodinâmica de estado
deduza uma expressão de
para um gás perfeito.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! A questão pede para deduzir a equação
e, depois, encontrar uma expressão para
quando temos um gás perfeito. Para isso, vamos precisar conhecer algumas relações fundamentais da termodinâmica, como as derivadas parciais e as equações de estado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a entalpia
é definida como
, onde
é a energia interna,
é a pressão e
é o volume. Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de
em relação a
a temperatura constante, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
mantendo a temperatura constante:
Simplificando, temos:
Passo 4
Sabemos da termodinâmica que, a entalpia
é uma função de
(entropia) e
. A derivada parcial de
em relação a
pode ser relacionada usando a relação termodinâmica:
Substituindo isso na expressão anterior:
As duas últimas parcelas se cancelam, ficando:
Passo 5
Agora, vamos usar a relação de Maxwell que liga as derivadas parciais de entropia e volume:
Substituindo isso na nossa expressão:
Simplificando:
Passo 6
Prontinho, deduzimos a equação geral:
Agora, vamos aplicar isso para um gás perfeito. Sabemos que, para um gás perfeito, a equação de estado é
, onde
é o número de mols e
é a constante dos gases.
Passo 7
Para um gás perfeito, o volume
em função da temperatura
e pressão
é:
Vamos calcular a derivada de
em relação a
a pressão constante:
Passo 8
Substituindo
e
na nossa equação inicial:
Simplificando:
Resposta
Para um gás perfeito, temos: