Sabendo que a energia total de um projétil é dada por , onde K é a energia cinética e é a energia potencial gravitacional e que pode se calcular a velocidade de escape
em que esse projétil pode ter a partir da superfície de qualquer corpo celeste, usando as equações:
Dessa forma, calcule a velocidade de escape para: c) Se a velocidade de escape da Terra fosse igual a velocidade da luz , qual deveria ser o raio da Terra para a mesma massa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que a energia total de um projétil é a soma da energia cinética ( ) com a energia potencial gravitacional ( ), ou seja, . A velocidade de escape ( ) é a velocidade mínima que um objeto precisa para escapar da atração gravitacional de um corpo celeste sem precisar de mais impulso. Pra resolver essa questão, vamos precisar das fórmulas da energia cinética, energia potencial gravitacional e da velocidade de escape. O objetivo aqui é descobrir qual deveria ser o raio da Terra para que a velocidade de escape seja igual à velocidade da luz ( ), mantendo a massa da Terra a mesma.

Passo 2

Vamos começar lembrando a fórmula da velocidade de escape:
Aqui:
  • é a velocidade de escape,
  • é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa do corpo celeste (no caso, a Terra),
  • é o raio do corpo celeste.
Queremos encontrar quando é igual à velocidade da luz, , e é a massa da Terra.

Passo 3

A primeira coisa que vamos fazer é isolar o na fórmula da velocidade de escape. Começamos elevando ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, isolando :

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula. Primeiro, precisamos da massa da Terra, que é aproximadamente . Também temos e .
Substituindo:

Passo 5

Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, multiplicamos os valores no numerador:

Passo 6

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:

Resposta

O raio da Terra deveria ser aproximadamente para que a velocidade de escape fosse igual à velocidade da luz, mantendo a mesma massa.

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Sabendo que a energia total de um projétil é dada por , onde K é a energia cinética e é a energia potencial gravitacional e que pode se calcular a velocidade de escape
em que esse projétil pode ter a partir da superfície de qualquer corpo celeste, usando as equações:
Dessa forma, calcule a velocidade de escape para: b) Sol.