Sabendo que a energia total de um projétil é dada por E=K+U, onde K é a energia cinética e U é a energia potencial gravitacional e que pode se calcular a velocidade de escape v
em que esse projétil pode ter a partir da superfície de qualquer corpo celeste, usando as equações:
K+U & =12 m v^2+(-G M mR)=0 v & =raiz2 G MR
Dessa forma, calcule a velocidade de escape v para: c) Se a velocidade de escape da Terra fosse igual a velocidade da luz 3.10^8 m / s, qual deveria ser o raio da Terra para a mesma massa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que a energia total de um projétil é a soma da energia cinética ( K) com a energia potencial gravitacional ( U), ou seja, E = K + U. A velocidade de escape ( v) é a velocidade mínima que um objeto precisa para escapar da atração gravitacional de um corpo celeste sem precisar de mais impulso. Pra resolver essa questão, vamos precisar das fórmulas da energia cinética, energia potencial gravitacional e da velocidade de escape. O objetivo aqui é descobrir qual deveria ser o raio da Terra para que a velocidade de escape seja igual à velocidade da luz ( 3 times 10^8 m/s), mantendo a massa da Terra a mesma.

Passo 2

Vamos começar lembrando a fórmula da velocidade de escape:
v = raiz2 G MR
Aqui:
  • v é a velocidade de escape,
  • G é a constante gravitacional ( 6,674 times 10^-11 N,m^2/kg^2),
  • M é a massa do corpo celeste (no caso, a Terra),
  • R é o raio do corpo celeste.
Queremos encontrar R quando v é igual à velocidade da luz, 3 times 10^8 m/s, e M é a massa da Terra.

Passo 3

A primeira coisa que vamos fazer é isolar o R na fórmula da velocidade de escape. Começamos elevando ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz:
v^2 = 2 G MR
Agora, isolando R:
R = 2 G Mv^2

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula. Primeiro, precisamos da massa da Terra, que é aproximadamente 5,972 times 10^24 kg. Também temos G = 6,674 times 10^-11 N,m^2/kg^2 e v = 3 times 10^8 m/s.
Substituindo:
R = 2 times 6,674 times 10^-11 N,m^2/kg^2 times 5,972 times 10^24 kg(3 times 10^8 m/s)^2

Passo 5

Vamos calcular o denominador primeiro:
(3 times 10^8 m/s)^2 = 9 times 10^16 m^2/s^2
Agora, multiplicamos os valores no numerador:
2 times 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24 = 2 times 6,674 times 5,972 times 10^13 = 79,66 times 10^13 = 7,966 times 10^14

Passo 6

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
R = 7,966 times 10^149 times 10^16 = 7,9669 times 10^-2 = 0,885 times 10^-2 m = 8,85 times 10^-3 m

Resposta

O raio da Terra deveria ser aproximadamente 8,85 times 10^-3 metros para que a velocidade de escape fosse igual à velocidade da luz, mantendo a mesma massa.

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