São dadas as expressões
alpha cdot z=x cdot y, e x=m cdot yraizy^2-V^2
dimensionalmente corretas. Determine a dimensão de z sabendo que m, V e alpha são massa, velocidade e aceleração, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas equações que estão certinhas do ponto de vista das dimensões físicas. A missão é descobrir qual é a dimensão da variável . Para isso, vamos precisar usar o conteúdo de análise dimensional, que é uma ferramenta que ajuda a verificar se as equações fazem sentido em termos de unidades físicas. Além disso, vamos precisar saber as dimensões de massa ( ), velocidade ( ) e aceleração ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as dimensões das grandezas que a gente já conhece:
  • Massa ( ): Representada pela letra .
  • Velocidade ( ): Tem dimensões de comprimento por tempo, então .
  • Aceleração ( ): É a variação da velocidade no tempo, então .

Passo 3

Vamos olhar para a primeira equação:
alpha cdot z = x cdot y
Como essa equação é dimensionalmente correta, as dimensões dos dois lados devem ser iguais. Ou seja:
[alpha] cdot [z] = [x] cdot [y]
Mas, a gente ainda não sabe as dimensões de e , então vamos para a segunda equação para descobrir.

Passo 4

Agora, a segunda equação é:
x = m cdot yraizy^2 - V^2
Vamos analisar as dimensões de cada parte:
  • No numerador: [x] = M cdot L T^-1L T^-1 = M tem dimensão .
  • No denominador: . Como está dentro da raiz quadrada, as dimensões dentro devem ser iguais. Então, e devem ter as mesmas dimensões, ou seja, .
Portanto, o denominador tem dimensão .
Agora, a dimensão de fica:
Então, .

Passo 5

Voltando para a primeira equação:
[alpha] cdot [z] = [x] cdot [y]
Substituindo as dimensões que já sabemos:
(L T^-2) cdot [z] = M cdot L T^-1
Vamos resolver para [z] = M cdot L T^-1L T^-2 = M cdot T :
Então, a dimensão de é .

Resposta

A dimensão de é .

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