Sabendo que f = g o h, encontre as funções g e h, sendo: f(x) = ln(raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e sabe que ela pode ser escrita como a composição de duas funções, ou seja, . Nosso objetivo aqui é encontrar quais são essas funções e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre composição de funções e como a função logaritmo e a raiz quadrada funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções. Quando dizemos que , isso significa que primeiro aplicamos a função no e depois aplicamos a função no resultado de . Em termos matemáticos, fica assim:
Então, precisamos escolher de maneira que, quando passamos o resultado para , obtenhamos exatamente .

Passo 3

Vamos olhar para a função e pensar em como ela é formada. A raiz quadrada de pode ser escrita como , então podemos reescrever da seguinte forma:
Agora, usando propriedades de logaritmos, sabemos que . Aplicando isso aqui:
Isso nos dá uma pista de como decompor a função.

Passo 4

Vamos definir a função como a parte dentro do logaritmo. Ou seja:
E a função será a função que multiplica por :
Agora, vamos ver se isso funciona na prática.

Passo 5

Aplicando a composição :
Que é exatamente a forma que encontramos para . Portanto, as funções que estamos procurando são:

Resposta

As funções são:

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