Sabendo que g(2) = 3 e g'(2) = -2, encontre f'(2) em que f(x) = (5 x^2 - 3 x + 4) * g(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de uma função no ponto . A função dada é . Para isso, vamos usar o Regra do Produto da derivada, que é um conceito da Cálculo Diferencial. Precisamos saber como derivar o produto de duas funções e usar as informações que a gente já tem sobre e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Regra do Produto. Se você tem uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja, , a derivada de é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular , que é a derivada de . Derivando termo a termo:
Então, .

Passo 4

Agora, aplicando a Regra do Produto:
Queremos encontrar , então vamos substituir na expressão acima.

Passo 5

Substituindo :
Vamos simplificar cada parte:

Passo 6

Agora, substituímos os valores de e que são dados:

Resposta

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