Sabendo que g(2) = 2 e g'(2) = 4, encontre f'(2) em que f(x) = (3 x^3 - 4 x^2) / g(x).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve cálculo de derivadas. O problema pede para encontrar f'(2), sabendo que g(2) = 2 e g'(2) = 4, onde f(x) = (3 x^3 - 4 x^2) / g(x). Para isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente, que é uma técnica de derivação utilizada quando uma função está dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função f(x). Temos o numerador e o denominador . Para encontrar a derivada de f(x), usaremos a regra do quociente, que nos permite derivar uma função que é o quociente de duas outras funções.

Passo 3

A regra do quociente diz que, para duas funções u(x) e v(x), a derivada de é dada por:
Portanto, precisamos calcular e .

Passo 4

Calculando as derivadas:
Já sabemos que e . Agora, substituindo na fórmula da regra do quociente:
Agora, substituímos x = 2, g(2) = 2 e g'(2) = 4:

Resposta

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