Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Definição 7.1 para calcular , onde . Basicamente, estamos lidando com a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição básica da Transformada de Laplace e realizar alguns cálculos de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. A definição dela é:
Isso significa que para encontrar a transformada de uma função , a gente multiplica essa função por e integra de até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos substituir na definição. Nosso é , então temos:
Então, nosso objetivo agora é resolver essa integral.
Passo 4
Para resolver a integral , vamos usar o método de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
então
então precisamos encontrar
Passo 5
Para encontrar , precisamos integrar . Isso também requer integração por partes ou o uso de fórmulas de integrais padrão. A integral de é conhecida e pode ser calculada como:
Então, temos:
Passo 6
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo u, v, :
Passo 7
Vamos analisar o primeiro termo . Ao avaliar nos limites:
Quando , tende a 0 (pois ), então todo o termo vai para 0.
Quando , .
Portanto, .
Passo 8
Ficou:
Agora, vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 9
Essas integrais são transformadas de Laplace conhecidas:
Substituindo de volta:
Passo 10
Simplificando os termos:
Mas lembramos que tínhamos um sinal negativo fora, então: