use a Definição 7.1 para calcular S(ft).
f(t) = t cos(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Definição 7.1 para calcular , onde . Basicamente, estamos lidando com a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição básica da Transformada de Laplace e realizar alguns cálculos de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. A definição dela é:
Isso significa que para encontrar a transformada de uma função f(t), a gente multiplica essa função por e integra de 0 até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos substituir f(t) na definição. Nosso f(t) é , então temos:
Então, nosso objetivo agora é resolver essa integral.

Passo 4

Para resolver a integral , vamos usar o método de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
  • então
  • então precisamos encontrar v

Passo 5

Para encontrar v, precisamos integrar . Isso também requer integração por partes ou o uso de fórmulas de integrais padrão. A integral de é conhecida e pode ser calculada como:
Então, temos:

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo u, v, :

Passo 7

Vamos analisar o primeiro termo . Ao avaliar nos limites:
  • Quando , tende a 0 (pois ), então todo o termo vai para 0.
  • Quando , .
Portanto, .

Passo 8

Ficou:
Agora, vamos separar essa integral em duas partes:

Passo 9

Essas integrais são transformadas de Laplace conhecidas:
Substituindo de volta:

Passo 10

Simplificando os termos:
Mas lembramos que tínhamos um sinal negativo fora, então:

Resposta

Portanto, a Transformada de Laplace de é:

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