Use a Regra de Cramer, para resolver o sistema linear
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. O que a gente tem aqui é um sistema linear com três equações e três incógnitas (x, y, z). A Regra de Cramer é uma técnica que utiliza determinantes de matrizes para encontrar os valores das variáveis. Então, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular seus determinantes e aí aplicar a fórmula da Regra de Cramer para achar x, y e z.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Olha só:
A = 2 & 5 & 5 -1 & -1 & 0 2 & 4 & 3
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e cada coluna representa os coeficientes das incógnitas x, y e z.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz, que vamos chamar de det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) . A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(A) = 2 times (-1 times 3 - 0 times 4) - 5 times (-1 times 3 - 0 times 2) + 5 times (-1 times 4 - (-1) times 2)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 2 times (-3 - 0) - 5 times (-3 - 0) + 5 times (-4 + 2)
Simplificando cada parte:
det(A) = 2 times (-3) - 5 times (-3) + 5 times (-2)
det(A) = -6 + 15 - 10 = -1
Passo 4
Agora, vamos encontrar os determinantes para cada variável. Primeiro, para encontrar Ax = -1 & 5 & 5 2 & -1 & 0 0 & 4 & 3 , substituímos a coluna de x pelos termos independentes (-1, 2, 0):
det(Ax) = -1 times (-1 times 3 - 0 times 4) - 5 times (2 times 3 - 0 times 0) + 5 times (2 times 4 - (-1) times 0)
Calculando det(Ax) = -1 times (-3 - 0) - 5 times (6 - 0) + 5 times (8 - 0) :
det(Ax) = 3 - 30 + 40 = 13
Então,
Passo 5
Para encontrar Ay = 2 & -1 & 5 -1 & 2 & 0 2 & 0 & 3 , substituímos a coluna de y pelos termos independentes:
det(Ay) = 2 times (2 times 3 - 0 times 0) - (-1) times (-1 times 3 - 0 times 2) + 5 times (-1 times 0 - 2 times 2)
Calculando det(Ay) = 2 times (6 - 0) - (-1) times (-3 - 0) + 5 times (0 - 4) :
det(Ay) = 12 - 3 - 20 = -11
Então,
Passo 6
Por fim, para encontrar Az = 2 & 5 & -1 -1 & -1 & 2 2 & 4 & 0 , substituímos a coluna de z pelos termos independentes:
det(Az) = 2 times (-1 times 0 - 2 times 4) - 5 times (-1 times 0 - 2 times 2) + (-1) times (-1 times 4 - (-1) times 2)
Calculando det(Az) = 2 times (0 - 8) - 5 times (0 - 4) + (-1) times (-4 + 2) :
det(Az) = 2 times (-8) - 5 times (-4) + (-1) times (-2)