Sabendo que a meia-vida do isótopo Carbono-14 é de 5700 anos e que seu decaimento é um processo de primeira ordem, calcule a idade de um fóssil sabendo que a concentração de Carbono-14 nele é 12,1% da original.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre o decaimento radioativo do Carbono-14. A meia-vida desse isótopo é de 5700 anos, e a gente sabe que o decaimento é um processo de primeira ordem. O que a gente precisa descobrir é a idade de um fóssil que tem apenas 12,1% da concentração original de Carbono-14. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do decaimento radioativo de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula do decaimento de primeira ordem. Ela é dada por:
N(t) = N0 times (12)^tT
Aqui,
  • $ N(t) $ é a quantidade de Carbono-14 que resta após o tempo $ t $,
  • $ N_0 $ é a quantidade inicial de Carbono-14,
  • $ T $ é a meia-vida do isótopo.

Passo 3

No nosso caso, a concentração de Carbono-14 no fóssil é 12,1% da original, ou seja:
N(t)N0 = 0,121
Vamos substituir isso na fórmula:
0,121 = (12)^t5700

Passo 4

Para resolver essa equação e encontrar $ t $, vamos usar o logaritmo. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
t

Passo 5

Agora, vamos isolar $ t $:
t
Calculando os logaritmos:
t = 5700 times ln(0,121)ln(12)
ln(0,121) approx -2,119

Passo 6

Substituindo os valores:
t = 5700 times -2,119-0,693
t approx 5700 times 3,06
t approx 17442 anos

Resposta

A idade do fóssil é aproximadamente 17.442 anos.

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