Sabendo que |u|=6,|v|=4 e 30^circ o ângulo entre u e v, calcular
a) a área do triângulo determinado por u e v;
b) a área do paralelogramo determinado por u e (-v);
c) a área do paralelogramo determinado por u+v e u-v.
Respostas: a) 6, b) 12 e c) 24

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! Temos duas vetores, u e v, com magnitudes |u| = 6 e |v| = 4, e o ângulo entre eles é de 30^circ. Vamos usar conceitos de geometria vetorial para calcular as áreas do triângulo e dos paralelogramos formados por esses vetores. Para isso, precisamos entender como calcular a área usando o produto vetorial, que envolve o seno do ângulo entre os vetores.

Passo 2

Parte a) Área do triângulo determinado por u e v
Primeiro, vamos lembrar que a área de um triângulo formado por dois vetores pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Área = 12 |u times v| Á
Aqui, u times v representa o produto vetorial dos vetores u e v, e |u times v| é a magnitude desse produto, que é igual a:
|u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta)
Onde theta é o ângulo entre u e v.
Vamos calcular passo a passo:
  1. Cálculo do produto vetorial:
|u times v| = 6 cdot 4 cdot sin(30^circ)
Sabemos que sin(30^circ) = 0,5, então:
|u times v| = 6 cdot 4 cdot 0,5 = 12
  1. Cálculo da área do triângulo:
Área = 12 cdot 12 = 6 Á

Passo 3

Parte b) Área do paralelogramo determinado por u e (-v)
A área de um paralelogramo formado por dois vetores também é calculada usando o produto vetorial:
Área = |u times (-v)| Á
Note que multiplicar um vetor por -1 apenas inverte sua direção, mas a magnitude do produto vetorial permanece a mesma, já que:
|u times (-v)| = |u times v|
Portanto, já sabemos que:
|u times v| = 12
Logo, a área do paralelogramo é:
Área = 12 Á

Passo 4

Parte c) Área do paralelogramo determinado por u + v e u - v
Para encontrar essa área, usamos novamente o produto vetorial:
Área = |(u + v) times (u - v)| Á
Vamos expandir o produto vetorial utilizando as propriedades distributivas:
(u + v) times (u - v) = u times u - u times v + v times u - v times v
Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, ou seja, u times u = 0 e v times v = 0. Além disso, v times u = -u times v. Portanto:
(u + v) times (u - v) = -u times v - u times v = -2(u times v)
A magnitude desse vetor é:
| -2(u times v) | = 2|u times v| = 2 cdot 12 = 24
Logo, a área do paralelogramo é 24.

Resposta

a) 6
b) 12
c) 24

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