Sabendo que e o ângulo entre e , calcular
a) a área do triângulo determinado por e ;
b) a área do paralelogramo determinado por e ;
c) a área do paralelogramo determinado por e .
Respostas: a) 6, b) 12 e c) 24

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! Temos duas vetores, e , com magnitudes e , e o ângulo entre eles é de . Vamos usar conceitos de geometria vetorial para calcular as áreas do triângulo e dos paralelogramos formados por esses vetores. Para isso, precisamos entender como calcular a área usando o produto vetorial, que envolve o seno do ângulo entre os vetores.

Passo 2

Parte a) Área do triângulo determinado por e
Primeiro, vamos lembrar que a área de um triângulo formado por dois vetores pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Á
Aqui, representa o produto vetorial dos vetores e , e é a magnitude desse produto, que é igual a:
Onde é o ângulo entre e .
Vamos calcular passo a passo:
  1. Cálculo do produto vetorial:
Sabemos que , então:
  1. Cálculo da área do triângulo:
Á

Passo 3

Parte b) Área do paralelogramo determinado por e
A área de um paralelogramo formado por dois vetores também é calculada usando o produto vetorial:
Á
Note que multiplicar um vetor por apenas inverte sua direção, mas a magnitude do produto vetorial permanece a mesma, já que:
Portanto, já sabemos que:
Logo, a área do paralelogramo é:
Á

Passo 4

Parte c) Área do paralelogramo determinado por e
Para encontrar essa área, usamos novamente o produto vetorial:
Á
Vamos expandir o produto vetorial utilizando as propriedades distributivas:
Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, ou seja, e . Além disso, . Portanto:
A magnitude desse vetor é:
Logo, a área do paralelogramo é 24.

Resposta

a) 6
b) 12
c) 24

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Encontre a taxa de crescimento (constante) das variáveis per capita no estado estacionário. Que fatores afetam essa taxa?
Sendo e o ângulo entre os vetores , calcular
Sejam e ?
Sendo e o ângulo entre e , calcular
a)
b)
Respostas: a) 16 , b)