Sabendo que e o ângulo entre e , calcular
a) a área do triângulo determinado por e ;
b) a área do paralelogramo determinado por e ;
c) a área do paralelogramo determinado por e .
Respostas: a) 6, b) 12 e c) 24
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! Temos duas vetores, e , com magnitudes e , e o ângulo entre eles é de . Vamos usar conceitos de geometria vetorial para calcular as áreas do triângulo e dos paralelogramos formados por esses vetores. Para isso, precisamos entender como calcular a área usando o produto vetorial, que envolve o seno do ângulo entre os vetores.
Passo 2
Parte a) Área do triângulo determinado por e
Primeiro, vamos lembrar que a área de um triângulo formado por dois vetores pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Aqui, representa o produto vetorial dos vetores e , e é a magnitude desse produto, que é igual a:
Onde é o ângulo entre e .
Vamos calcular passo a passo:
Cálculo do produto vetorial:
Sabemos que , então:
Cálculo da área do triângulo:
Passo 3
Parte b) Área do paralelogramo determinado por e
A área de um paralelogramo formado por dois vetores também é calculada usando o produto vetorial:
Note que multiplicar um vetor por apenas inverte sua direção, mas a magnitude do produto vetorial permanece a mesma, já que:
Portanto, já sabemos que:
Logo, a área do paralelogramo é:
Passo 4
Parte c) Área do paralelogramo determinado por e
Para encontrar essa área, usamos novamente o produto vetorial:
Vamos expandir o produto vetorial utilizando as propriedades distributivas:
Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, ou seja, e . Além disso, . Portanto: